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Lexikon der Mathematik: Quasi-Banachraum

vollständiger quasinormier-ter Raum.

Sei X ein reeller oder komplexer Vektorraum und x ↦ ∥x∥ ∈ [0, ∞) eine Abbildung mit:

(1) ∥x∥ = 0 genau dann, wenn x = 0.

(2) Für alle xX und alle Skalare λ gilt \begin{eqnarray}||\lambda x||=|\lambda |||x||.\end{eqnarray}

(3) Es existiert eine Konstante c ≥ 1 mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}||x+y||\le c(||x||+||y||)\quad \forall x,y\in X.\end{array}\end{eqnarray}

Dann heißt ∥. ∥ eine Quasinorm. Gilt anstelle von (3):

(3′) Es existiert eine Zahl p ∈ (0, 1] mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}||x+y|{|}^{p}\le ||x|{|}^{p}+||y|{|}^{p}\quad \forall x,y\in X,\end{array}\end{eqnarray}

so heißt ∥.∥ eine p-Norm. (In den Fällen c = 1 bzw. p = 1 erhält man eine Norm.) Jede p-Norm ist eine Quasinorm, und zu jeder Quasinorm existiert eine äquivalente p-Norm.

Es gibt eine metrisierbare Vektorraumtopologie auf einem quasinormierten Raum (X,∥.∥), die das System der Mengen {xX : ∥x∥ ≤ ϵ} als Nullumgebungsbasis besitzt; für eine p-Norm ∥.∥ definiert d(x, y) = ∥xy p eine Metrik, die diese Topologie erzeugt. Ist dieser metrische Raum vollständig, heißt X ein Quasi-Banachraum.

Ein Beispiel für einen Quasi-Banachraum ist der Raum Lp (μ) für 0 < p < 1 (Funktionenräume); auf diesem Raum ist \begin{eqnarray}||f||_{p}={\left(\displaystyle \int |f{|}^{p}{d}{\mu }\right)}^{1/p}\end{eqnarray}

eine p-Norm, aber keine Norm. Quasi-Banachräume treten auf natürliche Weise in der Theorie der Operatorideale auf.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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