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Lexikon der Mathematik: Quasigruppe

wie Halbgruppe, Gruppoid und Prä-gruppe eine nicht ganz einheitlich verwendete Begriffsbildung, die aber stets Objekte bezeichnet, bei denen nicht alle Gruppenaxiome erfüllt sein müssen.

Meist wird der Begriff dann verwendet, wenn man bei Theoremen aus der Gruppentheorie untersuchen will, ob wirklich alle Gruppenaxiome notwendig sind, um die Aussage beweisen zu können. Zu jeweils vorgegebenem Thema wird also der Begriff der Quasigruppe so gewählt, daß das zu untersuchende Theorem „gerade noch“ gültig ist.

Eine häufig verwendete Definition ist die folgende: Eine Quasigruppe ist eine Menge Q mit einer Verknüpfung ·, für die gilt:

  • Für alle a, bQ hat die Gleichung a · x = b eine eindeutige Lösung x.
  • Für alle a, bQ hat die Gleichung x · a = b eine eindeutige Lösung x.

Existiert außerdem ein Element eQ mit e · a = a · e = a für alle aQ, so nennt man Q ein Loop.

Ein Loop, in dem zusätzlich das Assoziativgesetz gilt, ist also eine Gruppe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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