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Lexikon der Mathematik: quasiklassische Asymptotik

Verfahren der asymptotischen Lösung meist linearer Differentialgleichungen Df = 0 für reell- oder komplexwertige Funktionen (oder allgemeiner Distributionen) f und Differentialoperatoren D (der Ordnung k), die auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M definiert und von einem Parameter ν abhängig sind.

Sei H : T M → ℝ das führende Symbol von D, also die C -Funktion, die entsteht, wenn in dem koordinatenunabhängig definierten Teil von D, der die höchsten Ableitungen enthält, die partiellen Ableitungen \begin{eqnarray}\frac{v}{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{k}}\end{eqnarray}

(i die imaginäre Einheit) durch die Faserkoordinaten pk auf dem Kotangentialbündel T M ersetzt werden. Man macht den Lösungsansatz in der asymptotischen Form (ν → 0) \begin{eqnarray}f={e}^{{ \frac{iS}{v}}}\displaystyle \sum _{r=0}^{\infty }{v}^{r}{a}_{r},\end{eqnarray}

wobei S eine reellwertige und alle ar komplexwertige auf offenen Gebieten von M definierte C -Funktionen (oder Distributionen) bezeichnen. S muß hierbei der Hamilton-Jacobi-Gleichung H(dS) = 0 genügen, während die ar ein rekursiv definiertes System von partiellen Differentialgleichungen, den sog. Transportgleichungen, erfüllen.

Schon in einfachen physikalischen Problemen wie dem quantenmechanischen Harmonischen Oszillator ist es oft nicht möglich, S global zu definieren, und man sucht nach einer Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit LT M, die in der Energiehyperfläche H −1 (0) enthalten ist, was die Hamilton-Jacobi-Gleichung verallgemeinert. Die globale asymptotische Lösung wird dann als Halbdichte auf L konstruiert, die dann auf Gebiete von M, die frei von Kaustiken der durch L und die Bündelprojektion definierten Lagrange-Abbildung LT MM sind, durch lokale Schnitte der auf L eingeschränkten Projektion auf M übertragen werden kann. An den Kaustiken selbst werden diese übertragenen Dichten singulär und erleiden Phasensprünge; dem wird durch die Einführung eines lokalflachen komplexen Geradenbündels mit Strukturgruppe ℤ/4ℤ über L, dem sogenannten Maslov-Bündel, global Rechnung getragen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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