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Lexikon der Mathematik: Quasikörper

eine Menge Q mit Verknüpfungen + und ·, für die gilt:

  • (Q, +) ist eine Gruppe mit neutralem Element 0.
  • (Q \ {0},·) ist eine Quasigruppe mit neutralem Element 1.
  • Für alle aQ gilt a · 0 = 0 · a = 0.
  • Für alle a, b, cQ gilt (a + b) · c = (a · c) + (b · c).
  • Für a, b, cQ mit ab gibt es ein eindeutiges xQ mit −(x · a) + (x · b) = c.

Es sei Q ein Quasikörper. Wählt man die Menge

\begin{eqnarray}\{(a,b)|a,b\in Q\}\end{eqnarray}

als Punktmenge einer Inzidenzstruktur, und die Mengen

\begin{eqnarray}[m,b]:=\{(a,am+b)|a\in Q\}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}[c]:=\{(c,a)|a\in Q\}(m,b,c\in Q)\end{eqnarray}

als Geraden, so erhält man eine Translationsebene.

Umgekehrt läßt sich jede Translationsebene mit einem Quasikörper koordinatisieren. Diese Translationsebene ist desarguessch genau dann, wenn Q ein Schiefkörper ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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