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Lexikon der Mathematik: quasikohärente Garbe

Garbe mit zusätzlicher Eigenschaft.

Es sei X ein \({\mathcal{F}}\) Schema und \({\mathcal{F}}\) eine Garbe von 𝒪 X – Moduln. Diese heißt quasikohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung {Uα} von X gibt, so daß \begin{eqnarray}{\mathcal{O}}_{{U}_{\alpha }}{\otimes }_{{A}_{\alpha }}{M}_{\alpha }\to {\mathcal F} |{U}_{\alpha }\end{eqnarray}

(mit Aα = 𝒪 X (Uα), Mα = \({\mathcal{F}}\)(Uα)) ein Isomorphismus ist.

Wenn X = Spec(A) ein affines Schema ist, so ist der Funktor, der jedem A-Modul M die Garbe \(\tilde{M}\) = 𝒪 X A M zuordnet, eine Äquivalenz der Kategorie der A-Moduln mit der Kategorie der quasikohärenten Garben auf X, der dazu inverse Funktor ist durch \({\mathcal{F}}\) ↦ \({\mathcal{F}}\)(X) gegeben. Für offene Mengen der Form D(f) = U ist \(\tilde{M}\)(U) = Mf.

Für projektive Schemata X = Proj(S) (projektives Spektrum) erhält man auf ähnliche Weise jede quasikohärente Garbe aus einem graduierten S-Modul M• in der Form \( {\mathcal F} =\tilde{M}\). Hierbei ist \(\tilde{M}\) • die Garbe, deren Schnitte auf offenen Mengen der Form U = D + (f) durch \(\tilde{M}\cdot (U)=M{\cdot }_{(f)}\subset M{\cdot }_{f}\) gegeben sind, wobei M •(f ) die Menge \begin{eqnarray}\left\{\frac{m}{{f}^{n}};m\in M\cdot \text{homogen, deg}(m)=n\deg (f)\right\}\end{eqnarray}

bezeichnet.

Da die Mengen D + (f) (fS homogen) eine Basis der Topologie bilden, ist \(\tilde{M}\) • dadurch bestimmt. Beispielsweise ist \({{\mathcal{O}}}_{X}(n)=\tilde{S}(n)\cdot \), wobei S(n)• der Modul S mit der neuen Graduierung S(n) k = Sn + k ist. Definiert man \begin{eqnarray}\Gamma \cdot ( {\mathcal F} )=\mathop{\oplus }\limits_{n\in {\mathbb{Z}}}( {\mathcal F} {\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{X}}(n))(X),\end{eqnarray}

so erhält man einen graduierten S-Modul, und Γ • (F)~ ≅ \({\mathcal{F}}\).

Für Morphismen f : X′ → X und quasikohärente Garben \({\mathcal{F}}\) auf X ist die Garbe f \({\mathcal{F}}\) quasikohärent auf X′. Ebenso ist unter gewissen Voraussetzungen über f das direkte Bild f \({\mathcal{F}}\)′ einer quasikohärenten Garbe auf X′ wieder quasikohärent.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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