eine Verallgemeinerung des Begriffes der konformen Abbildung. Zur genauen Definition sind einige Vorbereitungen notwendig.

Es sei γ : [0,1] → ℂ eine Jordan-Kurve und

\begin{eqnarray}\Gamma :=\{\gamma (t):t\in [0,1]\}.\end{eqnarray}

Dann besitzt ℂ\Γ genau zwei Zusammenhangskomponenten, und zwar eine beschränkte und eine unbeschränkte. Die beschränkte sei mit G bezeichnet. Man nennt G auch das Innere von Γ. Für z₀ ∈ G wird durch

\begin{eqnarray}\varphi (t):=\arg (\gamma (t)-{z}_{0})\end{eqnarray}

eine stetige Funktion φ: [0, 1) → ℝ definiert, wobei arg z das Argument Einer Komplexen Zahl z bezeichnet. Es existiert der linksseitige Grenzwert \(\varphi (1-):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to 1-}\varphi (t)\), und es gilt entweder

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\varphi (1-)-\varphi (0)=2\pi & \text{oder} & \varphi (1-)-\varphi (0)=-2\pi.\end{array}\end{eqnarray}

Im ersten Fall nennt man γ eine positiv und im zweiten eine negativ orientierte Jordan-Kurve.

Es seien G, G′ ⊂ ℂ Gebiete und f ein Homöomorphismus von G auf G′. Ist γ : [0,1] → G eine Jordan-Kurve in G, so ist f ○ γ : [0,1] → G′ eine Jordan-Kurve in G′. Man nennt f orientierungserhaltend, falls für jede positiv orientierte Jordan-Kurve γ in G auch die Bildkurve f ○ γ positiv orientiert ist.

Eine quasikonforme Abbildung wird nun mit Hilfe des Moduls eines Vierecks definiert. Dazu sei Q = (Q; a, b, c, d) ein Viereck mit \(\overline{Q}\subset G\) und m(Q) der zugehörige Modul. Dann ist Q’ = (f (Q); f (a), f (b), f (c), f (d)) ein Viereck mit \(\overline{f(Q)}\subset {G}^{\prime}\), und man nennt den Quotienten m(Q’)/m(Q) die Dilatation von m(Q) unter f. Die Zahl

\begin{eqnarray}K(G):=\mathop{\sup }\limits_{\overline{Q}\subset G}\displaystyle \frac{m(\bf{Q}\text{'})}{m(\bf{Q})},\end{eqnarray}

wobei das Supremum über alle Vierecke Q mit \(\overline{Q}\subset G\) gebildet wird, heißt die maximale Dilatation von f in G. Es gilt stets K(G) ≥ 1. Man nennt f eine quasikonforme Abbildung, falls K(G) < ∞. Ist K eine Zahl mit K(G) ≤ K < ∞, so heißt f eine K-quasikonforme Abbildung.

Da der Modul eines Vierecks unter konformen Abbildungen invariant ist, ist jede konforme Abbildung eine 1-quasikonforme Abbildung. Weitere 1-quasikonforme Abbildungen gibt es nicht.

Aus der Definition erhält man folgende Eigenschaften quasikonformer Abbildungen.

(a) Ist f : G → G′ eine K-quasikonforme Abbildung, so gilt dies auch für die Umkehrabbildung f⁻¹ : G′ → G.

(b) Ist f₁ : G → G′ eine K₁-quasikonforme und f₂ : G′ → G′′ eine K₂-quasikonforme Abbildung, so ist die Komposition f₂ ○ f₁ : G → G′′ eine K₁K₂-quasikonforme Abbildung.

(c) Es sei (f_n) eine Folge K-quasikonformer Abbildungen f_n : G → G_n, die in G kompakt konvergent gegen einen Homöomorphismus f : G → G′ ist (kompakt konvergente Folge). Dann ist auch f eine K-quasikonforme Abbildung.

Man erhält eine äquivalente Definition des Begriffs quasikonforme Abbildung, wenn man in der obigen Definition den Modul eines Vierecks durch den Modul eines Ringgebietes oder den Modul einer Kurvenfamilie ersetzt.

Neben der obigen geometrischen Definition gibt es noch eine äquivalente analytische Definition quasikonformer Abbildungen. Dazu sind einige Vorbereitungen notwendig.

Zunächst sei f : G → G′ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, d. h., f ist ein Homöomorphismus, f ist (reell) differenzierbar in G und die Umkehrabbildung f⁻¹ ist differenzierbar in G′.

Für z ∈ G definiert man die komplexen Ableitungen (Wirtinger-Ableitungen)

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\partial f(z) & := & \displaystyle \frac{1}{2}[{f}_{x}(z)-i{f}_{y}(z)],\\ \overline{\partial }f(z) & := & \displaystyle \frac{1}{2}[{f}_{x}(z)+i{f}_{y}(z)],\end{array}\end{eqnarray}

und die Richtungsableitung ∂_αf (z) in Richtung α durch

\begin{eqnarray}{\partial }_{\alpha }f(z):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 0 }\displaystyle \frac{f(z+r{e}^{i\alpha })-f(z)}{r{e}^{i\alpha }}.\end{eqnarray}

Dann gilt \({\partial }_{\alpha }f(z)=\partial f(z)+\overline{\partial }f(z){e}^{-2i\alpha }\) und daher

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mathop{\max }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f(z)| & = & |\partial f(z)|+|\overline{\partial }f(z)|,\\ \mathop{\min }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f(z)| & = & |\partial f(z)|+|\overline{\partial }f(z)|.\end{array}\end{eqnarray}

Da f orientierungserhaltend ist, gilt für die Jacobi-Determinante

\begin{eqnarray}{J}_{f}(z)=|\partial f(z){|}^{2}-|\overline{\partial }f(z){|}^{2}\gt 0\end{eqnarray}

und daher

\begin{eqnarray}|\partial f(z)|-|\overline{\partial }f(z)|\gt 0.\end{eqnarray}

Nun definiert man den Dilatationsquotienten durch

\begin{eqnarray}{D}_{f}(z):\displaystyle \frac{\mathop{\max }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f(z)|}{\mathop{\min }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f(z)|}=\displaystyle \frac{|\partial f(z)|+|\overline{\partial }f(z)|}{|\partial f(z)|+|\overline{\partial }f(z)|}\end{eqnarray}

und erhält D_f (z) < ∞ für alle z ∈ G.

Es ist f eine konforme Abbildung genau dann, wenn \(\overline{\partial }f(z)=0\) für alle z ∈ G. Dann ist ∂_αf (z) unabhängig von α und

\begin{eqnarray}{\partial }_{\alpha }f(z)=\partial f(z)={f}^{\prime}(z)\end{eqnarray}

für alle z ∈ G. Dies ist äquivalent zu D_f (z) = 1 für alle z ∈ G.

Der Dilatationsquotient ist stets konform invariant, d. h., sind g : G₁ → G und h : G′ → G₂ konforme Abbildungen und w := h ○ f ○ g : G₁ → G₂, so gilt D_f (z) = D_w (g⁻¹ (z)) für alle z ∈ G.

Ist f : G → G′ ein orientierungserhaltender Homöomorphismus und z₀ ∈ G ein Punkt, an dem f differenzierbar ist, so sind die Ableitungen ∂f (z₀), \(\overline{\partial }f({z}_{0})\) und ∂_αf (z₀) wie oben definiert. Es kann jedoch vorkommen, daß J_f (z₀) = 0. Der Dilationsquotient D_f (z₀) ist dann nicht definiert bzw. D_f (z₀) = ∞.

Mit diesen Bezeichnungen gilt folgender Satz.

Es sei f : G → G′ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus und D_f (z) ≤ K < ∞ für alle z ∈ G. Dann ist f eine K-quasikonforme Abbildung.

Weiter gilt folgende Umkehrung dieses Satzes.

Es sei f : G → G′ eine K-quasikonforme Abbildung und z₀ ∈ G ein Punkt, an dem f differenzierbar ist. Dann gilt

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\mathop{\max }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f({z}_{0})|\le K\mathop{\min }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f({z}_{0})|.\end{array}\end{eqnarray}

Im allgemeinen ist eine K-quasikonforme Abbildung f : G → G′ nicht an allen z ∈ G differenzierbar. Um auch solche Abbildungen analytisch beschreiben zu können, wird ein weiterer Begriff benötigt. Eine in G stetige reellwertige Funktion u heißt absolut stetig auf Linien in G, falls für jedes abgeschlossene Rechteck

\begin{eqnarray}\{x+iy:a\le x\le b,c\le y\le d\}\subset G\end{eqnarray}

die Funktion x ↦ u(x + iy) für fast alle y ∈ [c, d] (bezüglich des eindimensionalen Lebesgue-Maßes) absolut stetig auf [a, b], und die Funktion y ↦ u(x + iy) für fast alle x ∈ [a, b] absolut stetig auf [c, d] ist. Eine in G stetige komplexwertige Funktion f heißt absolut stetig auf Linien in G, falls Re f und Im f absolut stetig auf Linien in G sind. Man schreibt dafür kurz f ∈ ACL(G), wobei die Abkürzung ACL für ”absolutely continuous on lines“ steht. Falls f ∈ ACL(G), so besitzt f endliche partielle Ableitungen f_x und f_y fast überall in G (bezüglich des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes). Ist zusätzlich f eine offene Abbildung (d. h., das Bild jeder offenen Teilmenge von G ist eine offene Menge), so ist f fast überall in G differenzierbar.

Ist f : G → G′ eine quasikonforme Abbildung, so ist f ∈ ACL(G), und daher ist f fast überall in G differenzierbar. Es ergibt sich folgender Satz, den man auch die analytische Definition quasikonformer Abbildungen nennt.

Ein orientierungserhaltender Homöomorphismus f : G → G′ ist eine K-quasikonforme Abbildung genau dann, wenn f ∈ ACL(G) und

\begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f(z)|\le K\mathop{\min }\limits_{\alpha }|{\partial }_{\alpha }f(z)|\end{eqnarray}

für fast alle z ∈ G.

Im folgenden wird noch eine weitere wichtige Charakterisierung quasikonformer Abbildungen behandelt. Es sei f : G → G′ eine K-quasikonforme Abbildung. Dann ist f fast überall in G differenzierbar und J_f (z) > 0 für fast alle z ∈ G. Für einen solchen Punkt z ∈ G ist die Dilatationsbedingung (1) äquivalent zu der Ungleichung

\begin{eqnarray}|\overline{\partial }f(z)|\le \displaystyle \frac{K-1}{K+1}|\partial f(z)|.\end{eqnarray}

Weiter ist ∂f (z) ≠ 0, und daher kann man den Quotienten

\begin{eqnarray}{\mu }_{f}(z):=\displaystyle \frac{\overline{\partial }f(z)}{\partial f(z)}\end{eqnarray}

bilden. Die auf diese Weise für fast alle z ∈ G definierte Funktion μ_f heißt komplexe Dilatation von f. Es ist μ_f eine Borelmeßbare Funktion, und es gilt

\begin{eqnarray}|{\mu }_{f}(z)|\le \displaystyle \frac{K-1}{K+1}\lt 1\end{eqnarray}

für fast alle z ∈ G.

Es ist f eine konforme Abbildung genau dann, wenn μ_f (z) = 0 für alle z ∈ G. Sind f : G → G′ und g : G′ → G″ quasikonforme Abbildungen, so gilt für die Komposition g ○ f : G → G″

\begin{eqnarray}{\mu }_{g\circ f}(z)=\displaystyle \frac{{\mu }_{f}(z)+{\mu }_{g}(f(z)){e}^{-2i\arg \partial f(z)}}{1+{\mu }_{f}(z){\mu }_{g}(f(z)){e}^{-2i\arg \overline{\partial }f(z)}}\end{eqnarray}

für fast alle z ∈ G.

Die komplexe Dilatation hat eine einfache geometrische Interpretation. Dazu sei z ∈ G ein Punkt, an dem μ_f (z) definiert ist, und T : ℂ → ℂ definiert durch

\begin{eqnarray}T(\zeta ):=f(z)+\partial f(z)(\zeta -z)+\overline{\partial }f(z)(\overline{\zeta }-\overline{z}).\end{eqnarray}

Es ist T eine affine Abbildung, die jeden Kreis mit Mittelpunkt z auf eine Ellipse mit Mittelpunkt f (z) abbildet. Das Verhältnis zwischen großer und kleiner Halbachse dieser Ellipse ist gegeben durch

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{1+|{\mu }_{f}(z)|}{1-|{\mu }_{f}(z)|}\le K.\end{eqnarray}

Ist μ_f (z) ≠ 0, so ist |∂_αf (z)| maximal für

\begin{eqnarray}\alpha =\displaystyle \frac{1}{2}\arg {\mu }_{f}(z).\end{eqnarray}

Während also eine konforme Abbildung infinitesimale Kreise auf infinitesimale Kreise abbildet, bildet eine K-quasikonforme Abbildung infinitesimale Kreise auf infinitesimale Ellipsen ab, und deren Verhältnis zwischen großer und kleiner Halbachse ist durch K beschränkt.

Die Definition der komplexen Dilatation legt es nahe, die partielle Differentialgleichung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\overline{\partial }f=\mu \partial f & (2)\end{array}\end{eqnarray}

zu betrachten. Ist μ eine in G meßbare Funktion und ∥μ∥_∞ = ess sup_z∈G |μ(z)| < 1, so nennt man (2) eine Beltrami-Gleichung mit Beltrami-Koeffizient μ. Jede quasikonforme Abbildung f erfüllt also eine Beltrami-Gleichung mit μ = μ_f. Ist f eine konforme Abbildung, so ist μ_f = 0 in G, und die zugehörige Beltrami-Gleichung ist die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung \(\overline{\partial }f=0\).

Es entsteht die Frage, ob jede Lösung einer Beltrami-Gleichung eine quasikonforme Abbildung ist. Hierzu ist noch folgender Begriff notwendig.

Man sagt, eine Funktion f ∈ ACL(G) besitzt L²-Ableitungen in G, falls die partiellen Ableitungen f_x und f_y lokal quadratintegrierbar in G sind, d.h für jede kompakte Menge K ⊂ G gilt

\begin{eqnarray}\begin{array}{l}\displaystyle \int \displaystyle {\int }_{K}|{f}_{x}(x+iy){|}^{2}dxdy\lt \infty,\\ \displaystyle \int \displaystyle {\int }_{K}|{f}_{y}(x+iy){|}^{2}dxdy\lt \infty.\end{array}\end{eqnarray}

Ist eine solche Funktion f Lösung einer Beltrami-Gleichung (2), so nennt man f eine L²-Lösung von (2).

Damit können quasikonforme Abbildungen wie folgt charakterisiert werden.

Ein orientierungserhaltender Homöomorphismus f : G → G′ ist eine K-quasikonforme Abbildung genau dann, wenn f eine L²-Lösung einer Beltrami-Gleichung (2) ist, und μ für fast alle z ∈ G die Bedingung

\begin{eqnarray}|\mu (z)|\le \displaystyle \frac{K-1}{K+1}\lt 1\end{eqnarray}

erfüllt.

Weiter gilt folgender Eindeutigkeitssatz für quasikonforme Abbildungen.

Es seien f : G → G′ und g : G → G″ quasikonforme Abbildungen mit μ_f (z) = μ_g (z) für fast alle z ∈ G. Dann existiert eine konforme Abbildung w von G′ auf G″ mit g = w ○ f.

Schließlich gilt noch folgender Existenzsatz für Lösungen von Beltrami-Gleichungen.

Es sei μ: G → ℂ eine meßbare Funktion mit ∥μ∥_∞ < 1. Dann existiert eine quasikonforme Abbildung f : G → f (G) mit μ_f (z) = μ(z) für fast alle z ∈ G.

Aus diesem Ergebnis kann man folgende Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes herleiten.

Es seien G, G′ ⊂ ℂ einfach zusammenhängende Gebiete mit G ≠ ℂ und G′ ≠ ℂ. Weiter sei μ: G → ℂ eine meßbare Funktion mit ∥μ∥_∞ < 1. Dann existiert eine quasikonforme Abbildung f : G → G′ mit μ_f (z) = μ(z) für fast alle z ∈ G.

Aus den Differenzierbarkeitseigenschaften einer quasikonformen Abbildung f : G → G′ erhält man, daß f absolut stetig bezüglich des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes m₂ ist. Für jede meßbare Menge E ⊂ G gilt die Formel

\begin{eqnarray}{m}_{2}(f(E))=\displaystyle \int \displaystyle {\int }_{E}{J}_{f}(x+iy)dxdy.\end{eqnarray}

Insbesondere ist das Bild einer Nullmenge E ⊂ G wieder eine Nullmenge. Andererseits kann es vorkommen, daß für einen rektifizierbaren Weg γ : [0,1] → G der Bildweg f ○ γ : [0,1] → G′ nicht rektifizierbar ist, selbst dann, wenn γ z. B. eine Strecke oder ein Kreisbogen ist.