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Lexikon der Mathematik: quasikonforme Kurve

eine Jordan-Kurve Γ in ℂ derart, daß eine quasikonforme Abbildung f von ℂ auf ℂ existiert mit Γ = f (𝕋), wobei 𝕋 = {z ∈ ℂ : |z| = 1}. Ist f eine K-quasikonforme Abbildung für ein K ≥ 1, so nennt man Γ eine K-quasikonforme Kurve.

Neben dieser analytischen gibt es noch eine äquivalente geometrische Definition quasikonformer Kurven. Dazu bezeichne

\begin{eqnarray}\text{diam}\,E=\mathop{\sup }\limits_{z,w\in E}|z-w|\end{eqnarray}

den Durchmesser einer Menge E ⊂ ℂ. Sind z1, z2 zwei verschiedene Punkte auf einer Jordan-Kurve Γ, so wird Γ in zwei Teilbögen zerlegt, wobei derjenige mit dem kleineren Durchmesser mit Γ(z1,z2) bezeichnet wird. Es ist Γ eine quasikonforme Kurve genau dann, wenn eine Konstante M > 0 existiert derart, daß für je zwei verschiedene Punkte z1, z2 ∈ Γ gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\text{diam}\,\Gamma ({z}_{1},{z}_{2})}{|{z}_{1}-{z}_{2}|}\le M.\end{eqnarray}

Einige Beispiele quasikonformer Kurven. Es sei Γ zunächst eine glatte Jordan-Kurve, d. h. es gibt eine Parameterdarstellung g : [0, 2π] → Γ mit folgender Eigenschaft: Es ist g differenzierbar auf [0, 2π], g′ stetig auf [0, 2π], und g′ (t) ≠ 0 für alle t ∈ [0, 2π]. Hierbei ist zu beachten, daß g(0) = g(2π) und g′(0) = g′(2π). Dann ist Γ eine quasikonforme Kurve.

Eine glatte Jordan-Kurve kann auch durch folgende Eigenschaft beschrieben werden. Dazu denkt man sich g zu einer 2π-periodischen Funktion auf ℝ fortgesetzt. Es ist Γ glatt genau dann, wenn es eine stetige Funktion β: ℝ → ℝ gibt derart, daß für alle t ∈ ℝ gilt:

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\tau \to t+}\arg [g(\tau )-g(t)]=\beta (t)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\tau \to t-}\arg [g(\tau )-g(t)]=\beta (t)+\pi,\end{eqnarray}

wobei arg z das Argument Einer Komplexen Zahl z bezeichnet. Anschaulich bedeutet dies, daß Γ in jedem Punkt g(t) ∈ Γ eine Tangente besitzt und diese stetig von t abhängt. Man nennt β(t) auch den Tangentenrichtungswinkel von C im Punkt g(t).

Eine Jordan-Kurve Γ heißt stückweise glatt, falls die 2π-periodische Funktion g′ im Intervall [0, 2π) nur endlich viele Unstetigkeitsstellen t1, …, tn besitzt und für diese gilt

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\tau \to {t}_{k}+}\arg [g(\tau )-g({t}_{k})]=\beta ({t}_{k})\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\tau \to {t}_{k}-}\arg [g(\tau )-g({t}_{k})]=\beta ({t}_{k})+{\alpha }_{k}\end{eqnarray}

mit αk ∈ [0,2π]. Man nennt zk = g(tk) eine Ecke von Γ, falls αk ∉ {0, π, 2π}. Ist αk = 0 oder αk = 2π, so heißt zk eine Spitze von Γ. Mit diesen Bezeichnungen gilt nun:

Eine stückweise glatte Jordan-Kurve Γ ist quasikonform genau dann, wenn Γ keine Spitzen besitzt.

Ecken sind bei einer quasikonformen Kurve jedoch erlaubt. Zum Beispiel ist jeder geschlossene Polygonzug ohne Überschneidungen eine quasikonforme Kurve.

Während es Jordan-Kurven in ℂ gibt, deren zweidimensionales Lebesgue-Maß positiv ist, ist dies für quasikonforme Kurven nicht möglich. Jedoch existieren quasikonforme Kurven, die nicht rektifizierbar sind, ja sogar solche, für die kein Teilbogen rektifizierbar ist.

Die Hausdorff-Dimension quasikonformer Kurven ist stets kleiner als 2. Man beachte, daß es Jordan-Kurven mit Hausdorff-Dimension gleich 2 gibt. Andererseits existiert es zu jeder Zahl d ∈ [1, 2) eine quasikonforme Kurve, deren Hausdorff-Dimension gleich d ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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