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Lexikon der Mathematik: Quaternionenalgebra

eine vierdimensionale Algebra über einem Körper 𝕂, die spezielle Eigenschaften besitzt.

Zum einen versteht man darunter die vierdimensionale reelle Hamiltonsche Quaternionenalgebra, zum anderen aber auch die folgenden Verallgemeinerungen. Die Quaternionenalgebra A ist eine vierdimensionale Algebra über einem Körper 𝕂, falls A eine Basis (e, i, j, k) besitzt, derart, daß e das Einselement der Multiplikation ist, und die Multiplikation der restlichen Basiselemente durch das Multiplikationsschema

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\text{i}}^{2}=\alpha \text{e}+\beta \text{i}, & \text{ij}=\text{k}, & \text{ik}=\alpha \text{j}+\beta \text{k},\\ \text{ji}=\beta \text{j}-\text{k}, & {\text{j}}^{2}=\gamma \text{e} & \text{jk}=\beta \gamma \text{e}-\gamma \text{i},\\ \text{ki}=-\alpha \text{j}, & \text{kj}=\gamma \text{i}, & {\text{k}}^{2}=-\alpha \gamma \text{e}\end{array}\end{eqnarray}

(mit α, β, γ ∈ 𝕂) gegeben ist. Diese Quaternionenalgebra heißt vom Typ (α, β, γ).

Ist der Grundkörper 𝕂 = ℝ und gilt α = γ = −1, β = 0, so erhält man die Algebra der Hamiltonschen Quaternionen.

Jede Quaternionenalgebra vom Typ (1, 0, γ) ist isomorph zur Matrizenalgebra der (2 × 2)-Matrizen M2(𝕂). Die Quaternionenalgebren vom Typ (α, 0, γ) und (αs2, 0, γt2) mit s, t ∈ 𝕂 und s ≠ 0, t ≠ 0 sind isomorph. Insbesondere ist über ℂ die Quaternionenalgebra vom Typ (−1, 0, 1) ebenfalls isomorph zu M2(ℂ).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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