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Lexikon der Mathematik: Quot-Schema

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Sei \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }S\) ein eigentlicher Morphismus eines Schemas X in ein Noethersches Schema S, und E eine kohärente Garbe auf X. Für jedes S-Schema q : TS sei XT = X ×S T, wobei qT : XTX die Projektion auf X′, pT : XTT die Projektion auf T, und \({{\mathcal E} }_{T}={q}_{T}^{* }( {\mathcal E} )\) ist.

Anschaulich ist (X, ℰ) zu verstehen als Familie von Paaren (Xt, ℰt) eines algebraischen Schemas Xt mit einer kohärenten Garbe ℰt, wobei t die geometrischen Punkte von S durchläuft

\begin{eqnarray}({X}_{t}=X{\times }_{S}t,{{\mathcal E} }_{t}={q}_{t}^{* }( {\mathcal E} )).\end{eqnarray}

Das zugehörige Quot-Schema soll die Familie aller Quotienten ℰt/𝒢 (𝒢 ⊂ ℰ(t)) parametrisieren.

Eine Familie von Quotienten von E über einem S-Schema TS ist eine kohärente Garbe auf XT der Form ℱ = ℰT/𝒢, 𝒢 ⊂ ℰT, die flach über T ist. Die Bedingung ”flach“ gewährleistet, daß gewisse ”pathologische“ Familien ausgeschlossen werden; wenn T = t ein geometrischer Punkt ist, ist sie automatisch für jeden Quotienten erfüllt. Außerdem garantiert sie die Stetigkeit wichtiger numerischer Invarianten, z. B. Funktionen der Art

\begin{eqnarray}t\in T\mapsto \chi ({X}_{t},{{\mathcal F} }_{t}\otimes {{\mathcal L} }_{t})\end{eqnarray}

für alle Geradenbündel ℒ auf X.

Ist \(\tilde{Q}(T)\) die Menge aller Familien solcher flacher Quotienten von ℰT über T, so ist \(T\mapsto \tilde{Q}(T)\) ein Kofunktor auf der Kategorie der S-Schemata, da ein Morphismus h : T′ → T über S aus einem Quotien ten \({{\mathcal E} }_{T}\mathop{\to }\limits^{\pi } {\mathcal F} \) einen Quotienten

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{h}^{\#}(\pi ):{{\mathcal E} }_{{T}^{\prime}} & = & (i{d}_{X}{\times }_{S}h)* ({{\mathcal E} }_{T})\to {{\mathcal F} }^{\prime}\\ & = & (i{d}_{X}\times h)* ( {\mathcal F} )\end{array}\end{eqnarray}

induziert. Gefragt wird also nach der Existenz eines universellen Quotienten \({{\mathcal E} }_{Q}\mathop{\to }\limits^{\pi }{{\mathcal E} }_{Q}/ {\mathcal H} \) über einem S-Schema Q so, daß für jedes S-Schema T die Zuordnung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\text{Hom}}_{S}(T,Q)\to \tilde{Q}(T), & h\mapsto {h}^{\#}(\pi )\end{array}\end{eqnarray}

bijektiv ist. Anschaulich ausgedrückt: Jede Familie von Quotienten über einem beliebigen S-Schema T entsteht aus π durch eine eindeutig bestimmte ”Parametersubstitution“ h : TQ.

Die Existenz solcher universeller Quotienten wurde durch Grothendieck bewiesen, unter der Voraussetzung, daß X ein projektives Schema über S ist. Durch eine projektive Einbettung erhält man ausgezeichnete Geradenbündel

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(n)={{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}{(1)}^{\otimes n}, & {{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(1)={q}_{T}^{* }({{\mathcal{O}}}_{X}(1)).\end{array}\end{eqnarray}

Sei \( {\mathcal F} (n)= {\mathcal F} {\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}}{{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(n)\). Für jeden Quotienten ℰT → ℱ erhalten wir dann eine disjunkte Zerlegung von T in offene Unterschemata T = ∪TP so, daß auf TP die Funktionen t ↦ χ (Xt, ℱt (n)) konstante Werte P(n) haben. Die Funktion nP(n) ist dann das Hilbert-Polynom von ℱt.

Eine genauere Existenzaussage ist, daß für jede vorgegebene polynomiale Funktion P : ℤ → ℤ ein universeller Quotient \( {\mathcal F} ={{\mathcal E} }_{{Q}_{P}}/ {\mathcal H} \) mit einem projektiven S-Schema QP als Parameterschema existiert, der alle Quotienten mit P als Hilbert-Polynom parametrisiert.

Die Existenz von Quot-Schemata ist von Nutzen beim Nachweis der Existenz von gewissen Modulräumen mit der Eigenschaft, projektiv oder quasiprojektiv zu sein.

Beispiel: Sei S = Spec(A) und

\begin{eqnarray}X={{\mathbb{P}}}_{A}^{n}=\Pr \text{oj}A[{T}_{0},\ldots,{T}_{n}].\end{eqnarray}

Das Polynom

\begin{eqnarray}P:n\mapsto \left(\begin{array}{c}n+N\\ N\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n-d+N\\ N\end{array}\right)\end{eqnarray}

ist das Hilbert-Polynom einer Hyperfläche vom Grad d des N-dimensionalen projektiven Raumes. Ein homogenes Polynom vom Grad d hat die Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{|\alpha |=d}{u}_{\alpha }{T}^{\alpha }\end{eqnarray}

mit α = (α0, …, αN), |α| = α0 + ··· + αN, und

\begin{eqnarray}{T}^{\alpha }={T}_{0}^{{\alpha }_{0}}{T}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots {T}_{N}^{{\alpha }_{N}}.\end{eqnarray}

Es seien {Uα, |α| = d} Variable,

\begin{eqnarray}H=\text{Proj}(A[{U}_{\alpha }||\alpha |=d])\cong {{\mathbb{P}}}_{A}^{M}\end{eqnarray}

mit \(M=\left(\begin{array}{c}N+d\\ N\end{array}\right)-1\) ), \(F=\displaystyle {\sum }_{|\alpha |=d}{U}_{\alpha }{T}^{\alpha }\) das ”universelle Polynom vom Grad d“,

\begin{eqnarray}{\mathcal{G}}={{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}(-d,-1)F\subset {{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}\end{eqnarray}

(mit

\begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}(-d,-1)=p* {{\mathcal{O}}}_{X}(-d)\otimes {{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}q* {{\mathcal{O}}}_{H}(-1)),\end{eqnarray}

sowie p, q die Projektionen von X ×S H auf X, H.

Dann ist H = HilbP (X/S), und \({{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}/{\mathcal{G}}\) der universelle Quotient.

Im allgemeinen ist die Konstruktion von HilbP bzw. QP nicht so konstruktiv. Sie benutzt die Existenz von Regularitätsschranken kohärenter Garben, d. h. von Schranken m0, die nur von ℰ und dem Polynom P abhängig sind, so daß für mm0 die Garben ℰt (m), 𝒢(m), ℱ(m) (für ℱ = ℰt/𝒢 mit Hilbert-Polynom P) global erzeugt sind und triviale Kohomologie haben.

Im Falle X = ℙn × S, \(E={{\mathcal{O}}}_{X}^{r}\) (der allgemeine Fall läßt sich darauf zurückführen) ist dann pℰ(m) lokal freie Garbe, (pT)*((m)T) = (p*(m))T, und für jeden Quotienten \( {\mathcal F} ={{\mathcal E} }_{T}/{\mathcal{G}}\in \tilde{Q}(T)\) erhält man eine exakte Folge

\begin{eqnarray}\begin{array}{llll}0 & \to & p{r}_{* }{\mathcal{G}}(m)\to {({p}_{* } {\mathcal E} (m))}_{T} & (1)\\ & \to & {p}_{* } {\mathcal F} (m)\to 0 & \end{array}\end{eqnarray}

mit lokal freiem p ℱ(m).

Die Untergarbe 𝒢 ist durch diese Folge eindeutig bestimmt (als Bild der natürlichen Abbildung

\begin{eqnarray}{p}_{T}^{* }(p{T}_{* }{\mathcal{G}}(m))\otimes {{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(-m)\to {{\mathcal E} }_{T}).\end{eqnarray}

Mit der Bezeichnung 𝒮m = p ℰ(m) läßt sich (1) als S-Morphismus T → GrassP(m)(Sm) interpretieren. Für die universelle Familie erhält man so eine Einbettung QP ⊂ GrassP(m)(𝒮m).

Umgekehrt kann man auf diese Weise die Existenz einer universellen Familie nachweisen, ausgehend von G = GrassP(m)(𝒮m) und dem universellen Unterbündel Im ⊂ (𝒮m)G. Dies liefert eine Untergarbe

\begin{eqnarray}{\mathcal{G}}=\text{Bild von}\,{p}_{G}^{* }{I}_{m}\otimes {{\mathcal{O}}}_{{X}_{G}}(-m)\to {{\mathcal E} }_{G},\end{eqnarray}

und es ist zu zeigen, daß die Bedingungen ”ℰG/𝒢 ist flach und hat das Hilbert-Polynom P“ auf einem eindeutig bestimmten abgeschlossenen Unterschema QPG erfüllt ist.

Trotz dieses wenig konstruktiven Zugangs kann man die funktorielle Beschreibung benutzen, um lokale Eigenschaften von QP herzuleiten, z. B. ist für einen Punkt qQ, der dem Quotienten ℰt/𝒢 = ℱ (t = Spec(k) → S) entspricht, der Zariskische Tangentialraum durch Tq(Q/S) ≅ Hom(𝒢, ℱ) gegeben, und es sind gewisse Klassen in Ext1(𝒢, ℱ) definiert, deren Verschwinden äquivalent zur Glattheit von QS in q ist. Insbesondere folgt aus Ext1 (𝒢, ℱ) = 0 die Glattheit.

Es gibt komplexanalytische Analoga, allerdings versagen dort die projektiven Methoden. Das Analogon des Hilbert-Schemas ist unter dem Namen Douady-Raum bekannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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