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Lexikon der Mathematik: Quotient bei reduktiver Gruppenwirkung

ein Quotient einer Gruppe, der auf der Menge der stabilen Punkte existiert.

Es sei K ein Körper der Charakteristik 0 und A eine K-Algebra. Wenn die reduktive Gruppe G auf dem affinen Schema Spec(A) operiert, dann ergibt die kanonische Abbildung Spec(A) → Spec(AG) einen guten Quotienten. Wenn A eine endlich erzeugte K-Algebra ist, ist AG eine endlich erzeugte K-Algebra. Wenn alle Orbits abgeschlossen sind und dieselbe Dimension haben, ist Spec(A) → Spec(AG) ein geometrischer Quotient.

Beispiel: Die lineare Gruppe G der invertierbaren (2 × 2)-Matrizen mit Einträgen in ℂ operiert auf der Varietät

\begin{eqnarray}X=\text{Spec}({\mathbb{C}}[{X}_{11},{X}_{12},{X}_{21},{X}_{22}])\end{eqnarray}

durch Konjugation:

\begin{eqnarray}H,({X}_{ij})\mapsto H({X}_{ij}){H}^{-1}.\end{eqnarray}

Dabei bleiben die Determinante X11X22X12X21 und die Spur X11 + X22 invariant. Der Ring der invarianten Funktionen ℂ[X11, X12, X21, X22]G = ℂ[X11X22X12X21, X11 +X22] wird von diesen Funktionen erzeugt. Die Abbildung π : X → ℂ2,

\begin{eqnarray}\pi \left(\begin{array}{ll}{X}_{11} & {X}_{12}\\ {X}_{21} & {X}_{22}\end{array}\right)=\left(\det \left(\begin{array}{ll}{X}_{11} & {X}_{22}\\ {X}_{21} & {X}_{22}\end{array}\right),\text{spur}\left(\begin{array}{ll}{X}_{11} & {X}_{12}\\ {X}_{21} & {X}_{22}\end{array}\right)\right)\end{eqnarray}

liefert einen guten Quotienten. Ist UX die offene Teilmenge aller Matrizen mit verschiedenen Eigenwerten (die Menge der stabilen Punkte), dann ist die Einschränkung von π auf U,

\begin{eqnarray}U\to V=\{(a,b)\in {{\mathbb{C}}}^{2},{a}^{2}-4b\ne 0\}\end{eqnarray}

ein geometrischer Quotient.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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