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Lexikon der Mathematik: Quotient bei unipotenter Gruppenwirkung

spezieller Quotient einer Gruppe.

Solche Quotienten existieren selbst bei konstanter Orbitdimension nicht immer. Es sei A eine K-Algebra (K ein Körper der Charakteristik 0) und G eine unipotente algebraische Gruppe, die über eine Darstellung G → AutK (A) auf A operiert. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

  1. H1 (G, A) = 0.
  2. A ist eine treuflache AG–Algebra, und die kanonische Abbildung

    \begin{eqnarray}A\,{\otimes }_{{A}^{G}}A\to A{\otimes }_{K}K[G]\end{eqnarray}

    ist ein Isomorphismus.
  3. Es existieren x1, …, xrA, so daß

    \begin{eqnarray}A={A}^{G}[{x}_{1},\ldots,{x}_{r}].\end{eqnarray}

Insbesondere ist Spec(A) → Spec(AG) ein (trivialer) geometrischer Quotient.
  • Es sei L die Lie–Algebra von G (aufgefaßt als Unteralgebra von DerK(A)). Es existieren x1, …, xrA, delta;1, …, δrL, so daß
    • δi (xi) = 1,
    • δi (xj) = 0 if j > i,
    • δk δi (xj) = 0 if kj.
  • Die zweite Bedingung impliziert, daß die Operation von G frei ist. Die vierte Bedingung ist am leichtesten zu prüfen und ist die Basis für Verallgemeinerungen auf Operationen von G, die nicht notwendig frei sind.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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