Lexikon der Mathematik: Quotienten-Banachraum
Quotientenvektorraum eines Banachraums mit seiner kanonischen Norm.
Ist X ein Banachraum und U ein abgeschlossener Unterraum, wird auf dem Quotientenvektorraum X/U mittels
\begin{eqnarray}||x+U||=\inf \{||x+u||:u\in U\}\end{eqnarray}
eine Norm definiert, die X/U zu einem Banachraum macht. Die kanonische Surjektion (Quotientenabbildung) q : x ↦ x + U von X auf X/U hat die Operatornorm ∥q∥ = 1 (Rieszsches Lemma), wenn U ≠ X ist. Jeder Banachraum ist isometrisch isomorph zu einem Quotientenraum eines L1(μ)-Raums, und separable Räume sind isometrisch zu Quotienten von ℓ1.
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