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Lexikon der Mathematik: Quotientengarbe

wichtiger Begriff in der Garbentheorie.

Sei D ein offenes Gebiet im ℂn und 𝒯 eine Garbe abelscher Gruppen über D mit der Projektionsabbildung π : 𝒯 → D. Eine Teilmenge 𝒮 ⊂ 𝒯 heißt Untergarbe von abelschen Gruppen, wenn gilt

(i) 𝒮 ist offen in 𝒯;

(ii) π (𝒮) = D ;

(iii) für jeden Punkt zD ist der Halm 𝒮z eine Untergruppe von 𝒯z.

(Ähnlich gibt es das Konzept einer Untergarbe von Ringen 𝒮 einer Garbe von Ringen 𝒯; eine solche Untergarbe heißt Untergarbe von Idealen, wenn jeder Unterring 𝒮z ⊂ 𝒯z ein Ideal ist.)

Ist φ : 𝒮 → 𝒯 ein Garbenhomomorphismus zwischen zwei Garben von abelschen Gruppen über D, dann ist die Abbildung φ eine offene Abbildung, und daher ist das Bild φ (𝒮) ⊂ 𝒯 eine Untergarbe von abelschen Gruppen in 𝒯. Der Kern 𝒦 ⊂ 𝒮 dieses Homomorphismus’ besteht aus allen Punkten von 𝒮, die durch φ in den Nullschnitt von 𝒯 abgebildet werden. Da jeder Schnitt offen ist, ist auch der Kern eine Untergarbe von abelschen Gruppen in 𝒮. (Im Fall von Garben von Ringen ist der Kern außerdem eine Untergarbe von Idealen in 𝒮). Ist 𝒮 ⊂ 𝒯 eine Untergarbe von abelschen Gruppen (oder von Ringen oder Idealen), dann ist die Inklusionsabbildung i : 𝒮 → 𝒯 ein Garbenhomomorphismus.

Die Untergarbe 𝒮 kann immer als Kern eines Garbenhomomorphismus geschrieben werden: Für jeden Punkt zD bildet man den Quotienten 𝒬z = 𝒯z/𝒮z und die kanonische Abbildung φz : 𝒯z → 𝒬z. Offensichtlich ist 𝒬z eine abelsche Gruppe (oder ein Ring).

Seien 𝒬 = ∪zD 𝒬z und φ : 𝒯 → 𝒬 die Fortsetzung der Abbildungen φz auf die Vereinigungen 𝒯, 𝒬. Definiert man auf 𝒬 außerdem die Quotiententopologie, dann ist 𝒬 eine Garbe und φ ein Garbenhomomorphismus. Offensichtlich ist 𝒮 gerade der Kern von φ, und 𝒬 ist das Bild von φ. Die Garbe 𝒬 heißt die Quotientengarbe von 𝒯 durch 𝒮, geschrieben als 𝒬 = 𝒯/𝒮.

Überträgt man die Notation der exakten Sequenz von Gruppen auf Garben von Gruppen, dann sind die Bedingungen 𝒮 ⊂ 𝒯, 𝒬 = 𝒯/𝒮 äquivalent zu der Aussage, daß

\begin{eqnarray}0\to {\mathcal{S}}\mathop{\hookrightarrow }\limits^{i}{\mathcal{T}}\mathop{\hookrightarrow }\limits^{\varphi }{\mathcal{Q}}\to 0\end{eqnarray}

eine exakte Sequenz von Garben von abelschen Gruppen ist, wobei φ der oben konstruierte Garbenhomomorphismus ist. 0 bezeichne die triviale Garbe über D.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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