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Lexikon der Mathematik: Quotientenraum

Menge der Äquivalenzklassen X/∼ einer Menge X bezüglich einer Äquivalenzrelation ∼.

Trägt X eine Zusatzstruktur, so kann diese oft auf den Quotientenraum übertragen werden:

• Ist G eine Gruppe und NG ein Normalteiler, so definiert gg′ ⇔ g−1g′ ∈ N für g, g′ ∈ G eine Äquivalenzrelation, deren Klassen man mit gN (oder g + N bei additiver Schreibweise) bezeichnet; der entsprechende Quotientenraum G/N := G/∼ heißt Faktorgruppe.

• Ist V ein Vektorraum mit Teilraum W, und setzt man vv′ ⇔ vv′ ∈ W für v, v′ ∈ V, dann erhält der Quotientenraum V /W := V /∼ eine Vektorraumstruktur, indem man als Addition diejenige der Faktorgruppe V /W nimmt und Skalarmultiplikation durch λ(v + W) = λv + W definiert.

• Ist X topologischer Raum, so kann auf dem Quotientenraum die Quotiententopologie definiert werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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