Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Quotiententopologie

Standardtopologie auf einem Quotientenraum:

Ist (X, 𝒪) ein topologischer Raum und f : XY eine surjektive Abbildung, so ist die Quotiententopologie die feinste Topologie 𝒰 auf Y, welche f stetig macht; man findet

\begin{eqnarray}{\mathcal{U}}=\{U\subseteq Y|{f}^{-1}(U)\in {\mathcal{O}}\}.\end{eqnarray}

Insbesondere ist eine Teilmenge U von Y genau dann offen in der Quotiententopologie, wenn f−1(U) offen in X ist.

Ein Spezialfall dieser Konstruktion ist die Quotiententopologie auf Quotientenräumen: Dort wird X/∼ topologisiert, indem man für f : XX/∼ die kanonische Projektion wählt, also diejenige Abbildung, die x auf die Äquivalenzklasse [x] abbildet.

Ist (X, 𝒪) ein topologischer Raum, f : XY surjektiv, und Y mit der dadurch definierten Quotiententopologie versehen, dann gilt: Ist X kompakt (zusammenhängend, wegzusammenhängend), dann auch Y. Dagegen übertragen sich Trennungsaxiome ohne zusätzliche Voraussetzungen i. allg. nicht.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos