der durch Quotientenbildung nach einem Unterraum U ⊆ V aus einem Vektorraum V über 𝕂 gewonnene 𝕂-Vektorraum V /U der Menge aller Nebenklassen

\begin{eqnarray}[v]:=v+U:=\{v+u|u\in U\}\end{eqnarray}

von U mit den wie folgt wohldefinierten Verknüpfungen (v₁, v₂, v ∈ V; λ ∈ 𝕂):

\begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}({v}_{1}+U)+({v}_{2}+U) & := & ({v}_{1}+{v}_{2})+U;\\ \lambda (v+U) & := & \lambda v+U.\end{array}\end{eqnarray}

Zwei Nebenklassen v₁ + U und v₂ + U sind dabei genau dann gleich, falls die Differenz v₁ − v₂ in U liegt.

Die kanonische Abbildung φ : V → V/U; v ↦ [v] eines Vektorraumes in einen zugehörigen Quotientenvektorraum ist surjektiv und linear mit Ker φ = U (Kern einer linearen Abbildung). Ist U invariant unter φ (d. h., gilt ϕ(U) ⊆ U), so induziert φ eine lineare Abbildung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\varphi }^{\prime}:V/U\to V/U; & [v]\mapsto [\varphi (v)]\end{array}.\end{eqnarray}

Das Minimalpolynom dieser Abbildung φ′ ist stets ein Teiler des Minimalpolynoms von φ.

Ist U ein abgeschlossener Unterraum des normierten Vektorraumes (V, ∥ · ∥), so ist durch

\begin{eqnarray}||[v]|{|}_{q}:=\mathop{\inf }\limits_{u\in [v]}||u||\end{eqnarray}

eine Norm auf V/U gegeben, die sogenannte Quotientennorm. Ist V vollständig, so auch V/U bzgl. der Quotientennorm.

Ist φ : V → W linear, so sind die Elemente aus V/Ker φ gerade die Fasern f⁻¹(w) mit w ∈ W.