Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Quotientenvektorraum

der durch Quotientenbildung nach einem Unterraum UV aus einem Vektorraum V über 𝕂 gewonnene 𝕂-Vektorraum V /U der Menge aller Nebenklassen

\begin{eqnarray}[v]:=v+U:=\{v+u|u\in U\}\end{eqnarray}

von U mit den wie folgt wohldefinierten Verknüpfungen (v1, v2, vV; λ ∈ 𝕂):

\begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}({v}_{1}+U)+({v}_{2}+U) & := & ({v}_{1}+{v}_{2})+U;\\ \lambda (v+U) & := & \lambda v+U.\end{array}\end{eqnarray}

Zwei Nebenklassen v1 + U und v2 + U sind dabei genau dann gleich, falls die Differenz v1v2 in U liegt.

Die kanonische Abbildung φ : VV/U; v ↦ [v] eines Vektorraumes in einen zugehörigen Quotientenvektorraum ist surjektiv und linear mit Ker φ = U (Kern einer linearen Abbildung). Ist U invariant unter φ (d. h., gilt ϕ(U) ⊆ U), so induziert φ eine lineare Abbildung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\varphi }^{\prime}:V/U\to V/U; & [v]\mapsto [\varphi (v)]\end{array}.\end{eqnarray}

Das Minimalpolynom dieser Abbildung φ′ ist stets ein Teiler des Minimalpolynoms von φ.

Ist U ein abgeschlossener Unterraum des normierten Vektorraumes (V, ∥ · ∥), so ist durch

\begin{eqnarray}||[v]|{|}_{q}:=\mathop{\inf }\limits_{u\in [v]}||u||\end{eqnarray}

eine Norm auf V/U gegeben, die sogenannte Quotientennorm. Ist V vollständig, so auch V/U bzgl. der Quotientennorm.

Ist φ : VW linear, so sind die Elemente aus V/Ker φ gerade die Fasern f−1(w) mit wW.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos