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Lexikon der Mathematik: Raabe-Kriterium

auf Josef Ludwig Raabe (1832) zurückgehende Verfeinerung des Quotientenkriteriums zum Nachweis der absoluten Konvergenz gewisser Reihen reeller oder komplexer Zahlen:

Hat man mit einem reellen β > 1 und N ∈ ℕ

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{n+1}|\le |{a}_{n}|\left(1-\displaystyle \frac{\beta }{n}\right) & (n\ge N),\end{array}\end{eqnarray}

so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{\nu}\)absolut konvergent (und damit konvergent).

Die Reihe der Beträge divergiert, wenn

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{n+1}|\ge |{a}_{n}|\left(1-\displaystyle \frac{1}{n}\right) & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

mit aN ≠ 0 gilt.

Ist an stets von 0 verschieden, dann können die beiden Bedingungen auch als

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\beta \le n\left(1-\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\right) & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

bzw.

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}1\ge n\left(1-\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\right) & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

notiert werden.

Ein Beispiel: Für

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{a}_{n}:=\displaystyle \frac{1}{n-1} & \text{und} & {b}_{n}:=\displaystyle \frac{1}{{(n-1)}^{2}}\end{array}\end{eqnarray}

(ℕ ∋ n ≥ 2) hat man

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}},\end{eqnarray}

wobei

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{a}_{n}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle \frac{1}{n}\end{eqnarray}

divergiert, während

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{b}_{n}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle \frac{1}{{n}^{2}}\end{eqnarray}

konvergiert. Der Unterschied liegt darin, wie schnell sich der Quotient dem Wert 1 nähert. Im ersten Fall hat man

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1-\displaystyle \frac{1}{n},\end{eqnarray}

im zweiten

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}={\left(1-\displaystyle \frac{1}{n}\right)}^{2}\le 1-\displaystyle \frac{3}{2n}.\end{eqnarray}

Diesem Umstand trägt das Raabe-Kriterium Rechnung.

Das Kriterium gilt entsprechend für komplexe Reihen und solche mit Gliedern aus einem Banachraum, da eine Aussage über die Reihe der Beträge gemacht wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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