Typus von Funktionen, der zur scattered data-Interpolation verwendet wird, um für nicht allzu große Datenmengen glatte Interpolanten zu erzeugen.

Es seien Punkte x₁, …, x_N ∈ ℝⁿ und Werte y₁, …, y_N ∈ ℝ gegeben; gesucht ist eine Funktion f : ℝⁿ → ℝ mit f (x_i) = y_i.

Man wählt einen Ansatz der Form

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha }_{i}R(||x-{x}_{i})+\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{\beta }_{j}{P}_{j}(x). & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Dabei ist \(R:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) die radiale Basisfunktion und P₁, …, P_m sind Funktionen von ℝⁿ nach ℝ (etwa Polynomfunktionen).

Die Bezeichnung ”radiale Basisfunktion“ erklärt sich dadurch, daß R nicht von x selbst, sondern nur vom Abstand ( ”Radius“) von x und den x_i abhängt.

Die unbekannten Koeffizienten α_i und β_j berechnen sich aus

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f({x}_{i})={y}_{i} & (2)\end{array}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha }_{i}{P}_{j}({x}_{i})=0 & (j=1,\ldots,m). & (3)\end{array}\end{eqnarray}

Damit erzwingt man Reproduktion des von P₁, …, P_m aufgespannten linearen Raumes U von Funktionen: Gibt es eine Funktion p ∈ U mit p(x_i) = y_i, so ist diese eine Lösung des Interpolationsproblems.

Ist R eine positiv definite Funktion, so kann man Aussagen über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung machen.

Ein Beispiel ist die Hardysche Multiquadrik. Sie ist bedingt positiv definit, wenn P₁, …, P_m eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Grad ≤ k ist: Ist (3) erfüllt, so gilt

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{i,j=1}^{N}{\alpha }_{i}{\alpha }_{j}R(||{x}_{i}-{x}_{j}||)\gt 0 & (4)\end{array}\end{eqnarray}

(außer wenn α₁ = · · · = α_N = 0), was die Regularität des linearen Gleichungssystems (2,3) impliziert.