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Lexikon der Mathematik: radiale Basisfunktion

Typus von Funktionen, der zur scattered data-Interpolation verwendet wird, um für nicht allzu große Datenmengen glatte Interpolanten zu erzeugen.

Es seien Punkte x1, …, xN ∈ ℝn und Werte y1, …, yN ∈ ℝ gegeben; gesucht ist eine Funktion f : ℝn → ℝ mit f (xi) = yi.

Man wählt einen Ansatz der Form

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha }_{i}R(||x-{x}_{i})+\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{\beta }_{j}{P}_{j}(x). & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Dabei ist \(R:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) die radiale Basisfunktion und P1, …, Pm sind Funktionen von ℝn nach ℝ (etwa Polynomfunktionen).

Die Bezeichnung ”radiale Basisfunktion“ erklärt sich dadurch, daß R nicht von x selbst, sondern nur vom Abstand ( ”Radius“) von x und den xi abhängt.

Die unbekannten Koeffizienten αi und βj berechnen sich aus

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f({x}_{i})={y}_{i} & (2)\end{array}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha }_{i}{P}_{j}({x}_{i})=0 & (j=1,\ldots,m). & (3)\end{array}\end{eqnarray}

Damit erzwingt man Reproduktion des von P1, …, Pm aufgespannten linearen Raumes U von Funktionen: Gibt es eine Funktion pU mit p(xi) = yi, so ist diese eine Lösung des Interpolationsproblems.

Ist R eine positiv definite Funktion, so kann man Aussagen über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung machen.

Ein Beispiel ist die Hardysche Multiquadrik. Sie ist bedingt positiv definit, wenn P1, …, Pm eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Grad ≤ k ist: Ist (3) erfüllt, so gilt

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{i,j=1}^{N}{\alpha }_{i}{\alpha }_{j}R(||{x}_{i}-{x}_{j}||)\gt 0 & (4)\end{array}\end{eqnarray}

(außer wenn α1 = · · · = αN = 0), was die Regularität des linearen Gleichungssystems (2,3) impliziert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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