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Lexikon der Mathematik: Radon-Maß

spezielles Maß.

Es seien Ω ein Hausdorffraum und ℬ(Ω) die Borel-σ-Algebra in Ω. Ein Maß μ auf ℬ(Ω) heißt Radon-Maß, falls es lokalendlich und regulär (reguläres Maß) von innen ist. Jedes endliche Radon-Maß ist auch regulär von außen. Hat Ω eine abzählbare Umgebungsbasis, so ist jedes von innen reguläre Borel-Maß auch lokal endlich, also ein Radon-Maß. Ist Ω ein Polnischer Raum, so ist jedes lokalendliche Maß regulär und ein moderates Maß (Ulam), jedes lokalendliche Borel-Maß ein σ-endliches Radon-Maß, und jedes Radon-Maß auch von außen regulär. Im Satz von Lusin sind somit die Voraussetzungen erfüllt, falls Ω Polnischer Raum und μ lokalendlich ist.

Für das Radon-Maß gilt folgender Fortsetzungssatz von Choquet.

Es sei 𝒦(Ω) die Menge der kompakten Teilmengen von Ω, und \({\mu }_{0}:{\mathcal{K}}(\Omega )\to {\overline{{\mathbb{R}}}}_{+}\)gegeben, wobei für K1, K2 ∈ 𝒦(Ω) gilt:

(a) K1K2μ0 (K1) ≤ μ0 (K2) < ∞.

(b) μ0 (K1K2) ≤ μ0 (K1) + μ0 (K2).

(c) K1K2 = ∅ ⇒ μ0 (K1K2) = μ0 (K1) + μ0 (K2).

(d) Für K1und ϵ > 0 existiert eine offene Umgebung O von K1so, daß, falls K2O ist, μ0 (K2) ≤ μ0 (K1) + ϵ gilt.

Dann gibt es genau ein Radon-Maß μ auf ℬ(Ω), das auf 𝒦(Ω) mit μ0übereinstimmt.

Dies heißt, daß ein Radon-Maß durch seine Werte auf 𝒦(Ω) eindeutig bestimmt ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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