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Lexikon der Mathematik: Radon-Nikodym-Eigenschaft

die Eigenschaft eines Banachraums X, daß jedes X-wertige auf einer σ-Algebra definierte Vektormaß m beschränkter Variation, das bzgl. eines skalarwertigen Maßes μ absolutstetig ist, eine Bochnerintegrierbare (Bochner-Integral) Dichte besitzt:

\begin{eqnarray}m(A)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}fd\mu.\end{eqnarray}

Beispiele solcher Räume sind alle reflexiven Räume, alle Unterräume separabler Dualräume (wie z. B. ℓ1 oder der Raum der nuklearen Operatoren N(ℓ2)), sowie Dualräume von Banachräumen mit einer äquivalenten Fréchetdifferenzierbaren Norm. Hingegen haben weder c0 noch C[0, 1] noch L1 [0, 1] die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft kann auf vielfältige Weise äquivalent charakterisiert werden, beispielsweise hat X genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jeder stetige lineare Operator T : L1 (Ω, Σ, μ) → X eine Darstellung

\begin{eqnarray}T\varphi =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }f\varphi d\mu \end{eqnarray}

mit einer beschränkten Bochnerintegrierbaren Funktion f : Ω → X besitzt.

Ferner sind zur Radon-Nikodym-Eigenschaft äquivalent, daß jedes gleichgradig integrierbare X-wertige Martingal im Mittel und fast sicher konvergiert, oder daß jede abgeschlossene beschränkte konvexe Teilmenge C von X beulbar (engl. dentable) ist. Dabei heißt C beulbar, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein x0C mit

\begin{eqnarray}{x}_{0}\notin \overline{\text{conv}}\{x\in C:||x-{x}_{0}||\ge \varepsilon \}\end{eqnarray}

gibt; \(\overline{\text{conv}}\) steht für die abgeschlossene konvexe Hülle.

Der Dualraum X′ von X hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jeder separable Unterraum von X einen separablen Dualraum besitzt (Satz von Stegall), wenn also X ein Asplund-Raum ist.

[1] Bourgin, R.: Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodym property. Springer Berlin/Heidelberg, 1983.
[2] Diestel, J.; Uhl, J.: Vector Measures. American Mathematical Society, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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