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Lexikon der Mathematik: Räuber-Beute-Modell

auch Lotka-Volterra-Räuber-Beute-Modell, ein dynamisches System, das durch folgendes Differentialgleichungssystem beschrieben wird: \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-{a}_{1}x+{b}_{1}xy\\ {a}_{2}y-{b}_{2}xy\end{array}\right)\end{eqnarray} mit Konstanten a1, a2, b1, b2 > 0.

x(·) bzw. y(·) werden als Funktionen interpretiert, die die zeitliche Entwicklung einer Population von Raubtieren (z. B. Luchs) bzw. Beutetieren (z. B. Schneehasen) beschreiben. Dabei wird angenommen, daß der Beutepopulation ein unbegrenzter Nahrungsvorrat zur Verfügung steht, von dem sie sich ausschließlich ernährt; die Räuberpopulation ernähre sich nur von der Beutepopulation. a1 ist die Sterberate der Räuberpopulation, a2 die Geburtsrate der Beutepopulation. Die Vermehrung der Räuberpopulation ist proportional zu ihrer Größe, aber auch zur Größe der Beutepopulation, und damit der Möglichkeit, daß Räuber Beutetiere treffen. Umgekehrt nimmt die Beutepopulation proportional zum Produkt aus Räuber- und Beutepopulation ab. Es handelt sich um ein einfaches nichtlineares Differentialgleichungssystem.

Diese klassische Modell für eine ökologische Interaktion wird allerdings von der modernen Mathematischen Biologie als zu einfach angesehen: Das ursprüngliche Modell von Lotka (ein abgewandeltes Hamiltonsches System) ist strukturell instabil, andere Modelle (Volterra, Kolmogorow) berücksichtigen die Kapazität der Beute-Spezies und liefern stabile Koexistenz von Beute und Räuber bzw. (Paradox der Anreicherung) stabile periodische Orbits. Die Zahl der Orbits ist aber selbst in einfachen Fällen oft ungeklärt.

Das Verhalten hängt wesentlich davon ab, wie die Antwort des Räubers auf ein Beuteangebot modelliert wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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