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Lexikon der Mathematik: Rand einer konvexen Menge

der topologische Rand einer konvexen Menge im ℝn.

Ist K ⊆ ℝn konvex, so heißt die Menge

\begin{eqnarray}\overline{K}\cap \overline{{{\mathbb{R}}}^{n}\backslash K}\end{eqnarray}

der Rand von K. Ein Punkt x0 ∈ ℝn liegt genau dann im Rand von K, wenn jede Umgebung U von x0 sowohl die Menge K selbst als auch das Komplement ℝn \K von K anschneidet.

Von besonderer Bedeutung ist der Rand konvexer Körper. Bezeichnet man eine Hyperebene E ⊆ ℝn als Stützebene des konvexen Körpers K, falls die sogenannte Stützmenge EK von der leeren Menge verschieden ist und K vollständig in einem der beiden durch E bestimmten abgeschlossenen Halbräume – dem Stützhalbraum von K – enthalten ist, so kann man zeigen, daß durch jeden Randpunkt x0 eines konvexen Körpers K wenigstens eine Stützebene geht. Falls es für einen Randpunkt x0 genau eine solche Stützebene gibt, nennt man den Randpunkt regulär, ansonsten singulär. Ist beispielsweise n = 2 und K eine Kreisscheibe in ℝ2, so spielen die Geraden die Rolle der Hyperebenen, und jeder Randpunkt von K, das heißt, jeder Punkt auf der Kreislinie, ist regulär, da die einzige Stützebene die Tangente in diesem Punkt ist.

Für jeden Randpunkt x0 eines konvexen Körpers kann man die Strahlen, also die Halbgeraden betrachten, die von x0 ausgehen und von x0 verschiedene Punkte von K enthalten. Sie bilden einen konvexen Kegel, den man als den Projektionskegel von K bezeichnet. Ist x0 zusätzlich ein regulärer Randpunkt von K, so entspricht sein Projektionskegel dem x0 zugehörigen Stützhalbraum von K.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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