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Lexikon der Mathematik: Randbedingungen

Bedingungen, die an die Lö-sung eines Randwertproblems y(·) an den Randpunkten eines Intervalls [a, b] gestellt werden.

Man unterscheidet Randbedingungen erster, zweiter und dritter Art:

  1. y(a) = η1 ; y(b) = η2
  2. y′ (a) = η1 ; y′ (b) = η2
  3. α1y(a) + α2y′ (a) = η1 ; β1y(b) + β2y′ (b) = η2

Die ersten beiden Bedingungen sind Spezialfälle der dritten, die man Sturmsche Randbedingung nennt. Daneben gibt es noch periodische Randbedingungen der Form y(a) = y(b) ; y′ (a) = y′ (b).

Ein lineares Randwertproblem der Form

\begin{eqnarray}L[y]={y}^{(n)}+{a}_{n-1}(x){y}^{(n-1)}+\cdots +{a}_{0}y=s(x)\end{eqnarray}

mit stetigen Funktionen aj (x) und s(x), sowie den Randbedingungen

\begin{eqnarray}\begin{array}{l}{a}_{j,1}y(a)+\ldots +{a}_{j,n}{y}^{(n-1)}\\ +{b}_{j,1}y(b)+\ldots +{b}_{j,n}{y}^{(n-1)}(b)={\eta }_{j}\end{array}\end{eqnarray}

heißt (voll-)homogen, wenn s(x) ≡ ηj ≡ 0. Es heißt halbhomogen, wenn nur s(x) ≡ 0 oder ηj ≡ 0, andernfalls inhomogen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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