Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Randintegralmethode

Transformation einer partiellen Differentialgleichung mit gewissen Randbedingungen in eine äquivalente Integralgleichung. Dabei wird die Ausgangsproblemstellung in m Raumkoordinaten auf eine Integralgleichung über einer (m − 1)-dimensionalen Oberfäche überführt.

Sei z. B. die Potentialgleichung Δu = 0 in einem Gebiet Ω des ℝ2 mit der Randbedingung u = h auf dem Rand Γ von Ω, gegeben. Zur Lösung setzt man das sogenannte Einschichtpotential

\begin{eqnarray}\Phi =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }s(x,y)f(y)\text{d}{\Gamma }_{y}\end{eqnarray}

mit der Singularitätenfunktion

\begin{eqnarray}\begin{array}{l}s:{{\mathbb{R}}}^{2}\times {{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\\ s(x,y):=-\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{log}|||x-y||\end{array}\end{eqnarray}

und der unbekannten Belegung f an (mit ||·|| sei die Euklidische Norm bezeichnet). Für die unbekannte Funktion f ergibt sich daraus die Integralgleichung erster Art

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }s(x,y)f(y)\text{d}{{\rm{\Gamma }}}_{y}=h(x)\,\,\,\,{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}} \,\,{x}\in \Gamma.\end{eqnarray}

Zur numerischen Behandlung der Randintegralmethode verwendet man die Randelementmethode.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos