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Lexikon der Mathematik: Randwertproblem

Problemstellung für eine Differentialgleichung y(n) = f(x, y, …, y(n−1)), bei der Bedingungen, die an die Lösungen gestellt werden, an den beiden Randpunkten eines Intervalls [a, b] definiert sind (im Gegensatz zu einem Anfangswertproblem, bei dem die Bedingungen an einem Punkt gestellt werden). Man unterscheidet Randbedingungen erster, zweiter und dritter Art, sowie periodische Randbedingungen.

Es sei J = 1, …, n. Bei linearen Randwertproblemen der Form

\begin{eqnarray}L[y]:={y}^{(n)}+{a}_{n-1}(x){y}^{(n-1)}+\ldots +{a}_{0}y=s(x)\end{eqnarray}

mit stetigen Funktionen aj(·) und s(·), sowie den Randbedingungen aj,1y(a) + … + aj,ny(n−1) + bj,1y(b)+ … + bj,n y(n−1)(b) = ηj unterscheidet man homogene (s(·) ≡ 0 ≡ ηj), halbhomogene (s(·) ≡ 0 oder ηj = 0 (jJ) und inhomogene Randbedingungen.

Entsprechend nennt man das Randwertproblem homogen, halbhomogen oder inhomogen. Lösungen eines Randwertproblems sind diejenigen Lö-sungen der zugehörigen Differentialgleichung, die den Randbedingungen genügen.

Für den Fall partieller Differentialgleichungen siehe Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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