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Lexikon der Mathematik: Rang einer Matrix

die stets übereinstimmende maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren der Matrix, falls die Einträge Elemente aus einem Körper sind, üblicherweise bezeichnet mit Rg A oder Rg(A).

Wird eine (m × n)-Matrix A als Operator einer linearen Abbildung A : ℝn → ℝm aufgefaßt, so gilt:

\begin{eqnarray}\text{Rg}A=\text{dim}A({{\mathbb{R}}}^{n}).\end{eqnarray}

Eine Matrix A hat genau dann Rang r, wenn sie eine von 0 verschiedene (r × r)-Unterdeterminante besitzt, und jede (r + 1 × r + 1)-Unterdeterminante gleich 0 ist.

Multiplikation von links mit einer regulären (m × m)-Matrix und von rechts mit einer regulären (n × n)-Matrix ändert den Rang einer (m × n)-Matrix A nicht, und Multiplikation mit einer beliebigen Matrix vergrößert den Rang von A nicht. Zwei (m × n)-Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie gleichen Rang haben.

Das bekannteste Verfahren zur Bestimmung des Ranges einer Matrix A ist der Gaußsche Algorithmus, mit dem die Matrix A in eine Matrix der Form Er (die ersten r Einträge auf der Hauptdiagonalen gleich 1, alle anderen Einträge gleich Null) überführt werden kann. Die Zahl r ist dann gleich dem Rang von A.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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