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Lexikon der Mathematik: Rangfunktion

Funktion r auf einer Ordnung P< bzw. einem Verband L mit Nullelement 0, die jedem Element a die gemeinsame Länge r(a) aller maximalen (0, a)-Ketten zuordnet.

Man sagt, die Rangfunktion r erfülle die Regularitätsbedingung (Rk), k ≥ 2, falls für alle x1, …, xnL gilt

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}r({x}_{1}\vee \cdots \vee {x}_{k}) & = & \displaystyle \sum _{i\lt j}^{k}r({x}_{i})-\displaystyle \sum _{i\lt j}r({x}_{i}\wedge {x}_{j})+\cdots \\ & & +{(-1)}^{k-1}r({x}_{1}\wedge \cdots \wedge {x}_{k}).\end{array}\end{eqnarray}

Die Bedingung (Rk) impliziert die Bedingung (Rk−1) und damit auch (Ri) für alle ik. Umgekehrt kann man zeigen, daß (R3) auch (Rk) für alle k ≥ 3 zur Folge hat.

Somit sind lediglich die Bedingungen (R2) und (R3) von Bedeutung. Sie klassifizieren die modularen bzw. distributiven Verbände.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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