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Lexikon der Mathematik: Rao-Cramer, Ungleichung von

Ungleichung (1) im folgenden Satz.

Es sei X eine Zufallsgröße, deren Verteilungsdichtefunktion \(f(x;\gamma )\) bis auf einen unbekannten Parameter \(\gamma \in {{\mathbb{R}}}^{1}\) bekannt ist, und es sei \(\hat{\gamma }=S({X}_{1},\ldots,{X}_{n})\) eine Punktschätzung für γ auf der Basis einer Stichprobe X1, X2, …, Xn von X. Eine Aussage über eine untere Schranke der Varianz \(V(\hat{\gamma })\) der Schätzfunktion \(\hat{\gamma }\) liefert der Satz von Rao-Cramer:

Ist die Dichtefunktion f(x, γ) für jedes x zweimal nach γ differenzierbar, und gelten weitere Regularitätsvoraussetzungen, dann ist für jede Punktschätzfunktion \(\hat{\gamma }\)des Parameters γ die Ungleichung \begin{eqnarray}V(\hat{\gamma })\ge \frac{1}{{I}_{n}(\gamma )}\end{eqnarray}erfüllt, wobei \begin{eqnarray}{I}_{n}(\gamma )=nV\left(\frac{d\,\mathrm{ln}\,f({X}_{1},\ldots,{X}_{n};\gamma)}{d\gamma }\right)\end{eqnarray}ist.

In (γ) wird als Fishersohe Information bezeichnet. Als Maßzahl macht sie eine Aussage über die in der Stichprobe enthaltene Information hinsichtlich des zu schätzenden Parameters γ.

Die Ungleichung (1) wird als Ungleichung von Rao-Gramer bezeichnet. Eine Schätzfunktion \(\hat{\gamma }\), deren Varianz die untere Schranke In (γ) annimmt, heißt effektive (wirksamste) Schätzung (Punktschätzung).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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