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Lexikon der Mathematik: rationale Funktion

reelle oder komplexe Funktion, die als Quotient zweier Polynome darstellbar ist, also eine Funktion \(f:D\to {\mathbb{R}}\), die sich in der Gestalt \begin{eqnarray}f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\end{eqnarray} schreiben läßt, mit Polynomen \(P,Q\in {\mathbb{R}}[x],Q\ne 0\) wobei \(D=\{x\in {\mathbb{R}}:Q(x)\ne 0\}\) ist.

Gibt es eine solche Darstellung mit einem konstanten Polynom Q, d. h. läßt sich f selbst als Polynom schreiben, so nennt man f auch eine ganzrationale Funktion, andernfalls eine gebrochen rationale Funktion. Im Fall grad P < grad Q spricht man auch von einem „echten Polynombruch”. Eine rationale Funktion läßt sich auf genau eine Weise als Summe eines Polynoms und eines echten Polynombruchs darstellen. Man erhält diese Darstellung durch Division mit Rest des Zählerpolynoms P durch das Nennerpolynom Q.

Rationale Funktionen sind stetig und differenzierbar. Eine Stammfunktion einer rationalen Funktion gewinnt man im nicht-trivialen Fall durch Partialbruchzerlegung. Das Verhalten für x → ±∞ der nicht-konstanten rationalen Funktion f mit \begin{eqnarray}f(x)=\frac{{a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +{a}_{1}x+{a}_{0}}{{b}_{m}{x}^{m}+{b}_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +{b}_{1}x+{b}_{0}}\end{eqnarray} mit \({a}_{0},\ldots,{a}_{n},{b}_{0},\ldots,{b}_{m}\in {\mathbb{R}}\) wird durch die beiden Leitkoeffizienten \({a}_{n},{b}_{m}\ne 0\) bestimmt: Es gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \pm \infty }f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \pm \infty }c{x}^{k},\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}c:=\frac{{a}_{n}}{{b}_{m}}\,\,\text{und}\,\,\,k:=n-m.\end{eqnarray}

Rationale Funktionen auf einer Varietät sind konstante oder rationale Abbildungen von V nach \({{\mathbb{A}}}^{1}\subset {{\mathbb{P}}}^{1}\). Sie bilden einen algebraischen Funktionenkörper k(V).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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