Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Raum konstanter negativer Krümmung

eine hyperbolische Raumform.

Es sei Hn die einfach zusammenhängende Raumform konstanter negativer Krümmung k = −1. Wir stellen ℝn+1 als kartesisches Produkt ℝn+1 = ℝn × ℝ dar und schreiben die Punkte von ℝn+1 als Paare \(({\mathfrak{x}},t)\) mit \({\mathfrak{x}}={({x}_{1},\ldots,{x}_{n})}^{\top }\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) und t ∈ ℝ. Als Hyperfläche von ℝn+1 ist Hn durch t > 0 und die Gleichung \({t}^{2}=1+\Vert{\mathfrak{x}}\Vert^{2}\) gegeben.

Es sei Dn die offene Kugel \begin{eqnarray}{D}^{n}=\{{\mathfrak{n}}={({y}_{1},\ldots,{y}_{n})}^{\top }\in {{\mathbb{R}}}^{n};\,\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}={y}_{1}^{2}+\ldots +{y}_{n}^{2}\lt 1\}.\end{eqnarray} Wir definieren einen Diffeomorphismus \(v:{D}^{n}\to {H}^{n}\), indem wir einem Vektor 𝔫 ∈ Dn den durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\mathfrak{r}}=\frac{2{\mathfrak{n}}}{1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}}, & t=\frac{1+\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}}{1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}}\end{array}\end{eqnarray} definierten Vektor \(v({\mathfrak{n}})=({\mathfrak{n}},t)\in {H}^{n}\) zuordnen. Die Umkehrabbildung von v ist durch \begin{eqnarray}{v}^{-1}({\mathfrak{r}},t)=\frac{{\mathfrak{r}}}{t+\sqrt{{t}^{2}-\Vert{\mathfrak{r}}\Vert^{2}}}\end{eqnarray} gegeben. Dann gilt die Gleichung \begin{eqnarray}\Vert d{\mathfrak{r}}\Vert^{2}-d{t}^{2}=\frac{4}{{(1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2})}^{2}}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{(d{y}_{i})}^{2},\end{eqnarray} aus der man ersieht, daß Hn zu der mit der Poincaré-Metrik \begin{eqnarray}{g}_{-1}=4\left(\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{(d{y}_{i})}^{2}\right)/{\left(1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}\right)}^{2}\end{eqnarray} versehenen n-dimensionalen Kugel Dn isometrisch ist. Das zeigt insbesondere, daß sich g−1 von derflachen Euklidischen Metrik \({g}_{0}={(d{y}_{1})}^{2}+\ldots +{(d{y}_{n})}^{2}\) nur um den positiven Faktor \(\lambda ({\mathfrak{y}})={(1-\Vert{\mathfrak{y}}\Vert^{2})}^{-2}\) unterscheidet. Somit sind Hn und der Euklidische Raum \({H}_{0}^{n}\) konform äquivalent.

Hn dient als Modell der n-dimensionalen nichteuklidischen Geometrie. Die Geodätischen von Hn werden in diesem Modell als Geraden angesehen. Jede derartige Gerade ergibt sich als Durchschnitt \({H}^{n}\mathop{\cap }\limits^{}{E}^{2}\) von Hn mit einem zweidimensionalen affinen Unterraum \({E}^{2}\subset {{\mathbb{R}}}^{n+1}\).

Dann kann man mit Methoden der affinen Geometrie zeigen, daß durch je zwei verschiedene Punkte von Hn genau eine Gerade geht, und daß es durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden g unendlich viele Geraden gibt, die g nicht schneiden.

Im Gegensatz zu den n-dimensionalen einfach zusammenhängenden elliptischen Raumformen, die, da sie Sphären sind, ohne Schwierigkeiten in den Euklidischen Raum \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\) isometrisch eingebettet werden können, ist das Einbettungsproblem für die hyperbolische Raumformen Hn sehr viel schwieriger.

Die durch die Definition von Hn als Hyperfläche von \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\) gegebene Abbildung \({H}^{n}\to {{\mathbb{R}}}^{n+1}\) ist isometrisch im Hinblick auf die indefinite Metrik \begin{eqnarray}d{s}^{2}=\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{(d{x}_{i})}^{2}-d{t}^{2},\end{eqnarray} nicht aber hinsichtlich der Euklidischen Metrik von \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\). Zwar existieren nach dem Einbettungssatz von Nash isometrische Einbettungen von Hn in den Euklidischen Raum ℝN für \begin{eqnarray}N\ge (3{n}^{2}+11 n)(n+1)/2,\end{eqnarray} jedoch ist diese obere Grenze sehr großzügig bemessen, und explizite Beispiele werden nicht angegeben.

Nach unten existiert für die lokale Einbettbarkeit allerdings eine scharfe Grenze:

Ist \(f:U\to {{\mathbb{R}}}^{N}\)eine isometrische Einbettung einer offenen Teilmenge UHn, so ist \(N\ge 2n-1\). Es existieren offenen Teilmengen U ⊂ Hn und isometrische Einbettungen \(f:U\to {{\mathbb{R}}}^{2n-1}\).

Ein Beispiel einer derartigen Einbettung ist die Pseudosphäre. Man kann einen kleinen Bereich UH2 angeben, der zu einer aufgeschnittenen Pseudosphäre isometrisch ist. Die Unmöglichkeit, die ganze hyperbolische Ebene H2 isometrisch in den ℝ3 einzubetten, ist ein klassisches Resultat von David Hilbert.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos