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Lexikon der Mathematik: Raumkurvenproblem

Frage nach der Existenz glatter Kurven X im 3−dimensionalen projektiven Raum \({{\mathbb{P}}}^{3}\) mit vorgegebenem Grad d (Leitkoeffizient des Hilbert-Polynoms) und Geschlecht g (Dimension der ersten Kohomologiegruppe der Strukturgarbe \(g=\dim {H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X})\).

Für ebene Kurven gilt die Beziehung \begin{eqnarray}g=\frac{1}{2}(d-1)(d-2)\end{eqnarray} Für Kurven in \({{\mathbb{P}}}^{3}\), die keine ebenen Kurven sind, gilt d ≥ 3 und \begin{eqnarray}g\le \left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}{d}^{2}-d+1 & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ d\ \text{gerade},\\ \frac{1}{4}({d}^{2}-1)-d+1 & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ d\ \text{ungerade}\text{.}\end{array}\right.\end{eqnarray} Es gibt jedoch auch für gewisse d und g, die diese Ungleichung erfüllen, keine Kurve in \({{\mathbb{P}}}^{3}\) mit Grad d und Geschlecht g, zum Beispiel für d = 9, g = 11. Weiterhin ist nicht für alle d und g geklärt, ob es Kurven mit Grad d und Geschlecht g gibt oder nicht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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