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Lexikon der Mathematik: Rayleigh-Quotienten-Verfahren

iteratives Verfahren zur Approximation eines Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors einer symmetrischen Matrix \(A\in {{\mathbb{R}}}^{n\times n}\).

Für einen gegebenen Vektor \(x\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) minimiert der Rayleigh-Quotient \begin{eqnarray}r(x)=\frac{{x}^{T}Ax}{{x}^{T}x}\end{eqnarray} gerade \({\min }_{\lambda }\Vert(A-\lambda I)x\Vert_{2}\). Ist X eine gute Näherung an einen Eigenvektor von A, dann ist r(x) eine gute Näherung an einen Eigenwert von A. Ist andererseits μ eine gute Näherung an einen Eigenwert von A, dann besagt die Theorie der inversen Iteration, daß die Lösung von (AμI)x = b fast immer eine gute Approximation an den zugehörigen Eigenvektor liefert.

Kombiniert man beide Ideen, so erhält man das Rayleigh-Quotienten-Verfahren: Berechne, ausgehend von einem beliebigen Startvektor x0 mit \(\Vert{x}_{0}\Vert_{2}=1\), die Folge von Rayleigh-Quotienten \({\mu }_{m}=r({x}_{m})\), sowie die Folge von Vektoren \begin{eqnarray}{y}_{m+1}={(A-{\mu }_{m}I)}^{-1}{x}_{m}\end{eqnarray} (mittels Lösen des Gleichungssystems, inverse Iteration) und \({x}_{m+1}={y}_{m+1}/\Vert{y}_{m+1}\Vert\).

Die Eigenwertnäherungen r(xk) konvergieren global mit ultimativ kubischer Konvergenzrate.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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