Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Rayleigh-Ritz-Verfahren

iteratives Verfahren zur Approximation der p betragsgrößten Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren (bzw. des zugehörigen Eigenraums) einer symmetrischen Matrix \(A\in {{\mathbb{R}}}^{n\times n}\).

Zunächst berechnet man, wie bei der Unterraum-Iterationsmethode, ausgehend von einer Startmatrix \({X}_{0}\in {{\mathbb{R}}}^{n\times p}\) mit orthonormalen Spalten die Folge von Matrizen \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{Y}_{m+1}=A{X}_{m} & \text{und} & {X}_{m+1}={Q}_{m+1},\end{array}\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{Y}_{m+1}={Q}_{m+1}{R}_{m+1}.\end{eqnarray} Aus den Spalten der orthonormalen Matrix \({Q}_{m+1}\in {{\mathbb{R}}}^{n\times p}\) können in gewissem Sinne beste Eigenwert-Eigenvektor-Approximationen berechnet werden. Dazu wird die (p × p)-Matrix \begin{eqnarray}P={Q}_{m+1}^{T}A{Q}_{m+1}\end{eqnarray} gebildet, und das Eigenwertproblem für P z. B. mittels des QR-Algorithmus gelöst: P = UTTU, wobei U eine orthogonale Matrix und T eine obere Quasi-Dreiecksmatrix sei. Da p klein ist, ist dieser Aufwand nicht sehr hoch.

Indiziert man die Eigenwerte μi von T gemäß \begin{eqnarray}|{\mu }_{1}|\ge |{\mu }_{2}|\ge \ldots \ge |{\mu }_{p}|,\end{eqnarray} so sind sie Näherungen an die p betragsgrößten Eigenwerte von A. Näherungen für die zugehörigen Eigenvektoren (bzw. Eigenräume) lassen sich aus der Matrix \(V={Q}_{m+1}U\) bestimmen.

Für p = 1 entspricht dieses Verfahren dem Rayleigh-Quotienten-Verfahren.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos