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Lexikon der Mathematik: Rayleigh-Verteilung

bei gegebenem Parameter σ > 0 das durch die Wahrscheinlichkeitsdichte \begin{eqnarray}f:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\ni x\to \frac{x}{{\sigma }^{2}}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray} definierte Wahrscheinlichkeitsmaß. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist durch \begin{eqnarray}F:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\ni x\to 1-{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}\in [0,1]\end{eqnarray} gegeben. Im Falle σ = 1 spricht man von der Standardform der Verteilung.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Rayleigh-Verteilung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Dichten der Rayleigh-Verteilungen mit Parametern σ = 0.5(0.5)2.0

Besitzt die Zufallsvariable X eine Rayleigh-Verteilung mit dem Parameter σ > 0, so gilt für den Erwartungswert \(E(X)=\sigma \sqrt{\pi /2}\) und für die Varianz \(Var(X)=\frac{1}{2}{\sigma }^{2}(4-\pi )\). Der Modalwert liegt an der Stelle x = σ, und der Median ist \(m=\sigma \sqrt{\mathrm{ln}\,4}\). Die Rayleigh-Verteilung ist eine spezielle Weibull-Verteilung.

Anwendungen der Rayleigh-Verteilung finden sich z. B. in den Ingenieurwissenschaften, wo sie etwa zur Modellierung der Lebensdauer von schnell alternden Bauteilen verwendet wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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