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Lexikon der Mathematik: Rechnen mit Gleichungen

das Umformen von Gleichungen in andere Gleichungen, meist mit dem Ziel des Vereinfachens und Lösens von Gleichungen.

Man unterscheidet dabei zwischen äquivalenten Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändert, und nicht-äquivalenten Umformungen, die die Lösungsmenge möglicherweise ändern. Bezeichnet \({{\mathbb{L}}}_{D}(G)\) die Lösungsmenge einer Gleichung G mit Definitionsbereich D, so gilt für Gleichungen G1, G2 mit gleichem Definitionsbereich D: \begin{eqnarray}{G}_{1}{\sim}_{D}{G}_{2}\iff {{\mathbb{L}}}_{D}({G}_{1})={{\mathbb{L}}}_{D}({G}_{2})\end{eqnarray} Ist der Definitionsbereich aus dem Zusammenhang ersichtlich, so kann man ~ anstelle von ~D schreiben. Meist wird der Definitionsbereich einer Gleichung maximal, also gleich dem Schnitt der Definitionsbereiche der beteiligten Terme, gewählt.

Sind T1 und T2 Terme, so gilt: \begin{eqnarray}({T}_{1}={T}_{2})\sim({T}_{2}={T}_{1})\end{eqnarray}

Ist T ein weiterer Term, dessen Definitionsbereich den der Gleichung T1 = T2 enthält, so hat man: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}={T}_{2})\sim({T}_{1}+T={T}_{2}+T)\\ ({T}_{1}={T}_{2})\sim({T}_{1}-T={T}_{2}-T)\end{array}\end{eqnarray}

Ist außerdem T auf dem Definitionsbereich der Gleichung T1 = T2stets (d. h. beim Einsetzen jedes Elements des Definitionsbereichs der Gleichung) verschieden von 0, so gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}={T}_{2})\sim({T}_{1}.T={T}_{2}.T)\\ ({T}_{1}={T}_{2})\sim({T}_{1}/T={T}_{2}/T)\end{array}\end{eqnarray} Hieraus erhält man, wenn T1 und T2 auf dem Definitionsbereich der Gleichung T1 = T2 stets verschieden von 0 sind: \begin{eqnarray}({T}_{1}={T}_{2})\sim(1/{T}_{1}=1/{T}_{2})\end{eqnarray} Allgemein gilt für jede auf den Wertebereichen von T1 und T2 definierte injektive Funktion f: \begin{eqnarray}({T}_{1}={T}_{2})\sim(f({T}_{1})=f({T}_{2}))\end{eqnarray} Für nicht-injektive Funktionen f ist der Übergang von T1 = T2 zu f(T2) =f(T2) i. allg. eine nichtäquivalente Umformung, bei der die Lösungsmenge möglicherweise vergrößert wird. Dann muß man für die hinzugekommenen Lösungselemente ‚eine Probe machen‘, d. h. prüfen, ob sie die Ausgangsgleichung wirklich lösen.

Sind noch Terme S1, S2 gegeben, so hat man: \begin{eqnarray}\left.\begin{array}{l}{T}_{1}\sim{S}_{1}\\ {T}_{2}\sim{S}_{2}\end{array}\right\}\Rightarrow ({T}_{1}={T}_{2})\sim({S}_{1}={S}_{2})\end{eqnarray} Oft muß man den Definitionsbereich verkleinern, um eine Gleichung G weiter vereinfachen zu können ( etwa, um durch einen Term teilen zu können). Hierfür gilt \begin{eqnarray}{{\mathbb{L}}}_{D}(G)={{\mathbb{L}}}_{D\backslash L}(G)\cup L\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,\,\, L\subset {{\mathbb{L}}}_{D}(\text{G}).\end{eqnarray} Hat man eine Darstellung \(D=\mathop{\bigcup }\limits_{\delta \in {\mathbb{D}}}\delta \), so gilt \begin{eqnarray}{{\mathbb{L}}}_{D}(G)=\mathop{\bigcup }\limits_{\delta \in {\mathbb{D}}}{{\mathbb{L}}}_{\delta }(G).\end{eqnarray} Entsprechende Regeln gelten für das Rechnen mit ganzen Systemen von gleichzeitig zu lösenden Gleichungen, worauf z. B. der Gaußsche Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme beruht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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