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Lexikon der Mathematik: Rechnen mit Ungleichungen

das Umformen von z71 Ungleichungen in andere Ungleichungen, meist mit dem Ziel des Vereinfachens und Lösens von Ungleichungen.

Man unterscheidet dabei zwischen äquivalenten Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Ungleichung nicht ändert, und nicht-äquivalenten Umformungen, die die Lösungsmenge möglicherweise ändern. Bezeichnet \({{\mathbb{L}}}_{D}(U)\) die Lösungsmenge einer Ungleichung U mit Definitionsbereich D, so gilt für Ungleichungen U1, U2 mit gleichem Definitionsbereich D: \begin{eqnarray}{U}_{1}{\sim}_{D}{U}_{2}\iff {{\mathbb{L}}}_{D}({U}_{1})={{\mathbb{L}}}_{D}({U}_{2})\end{eqnarray} Ist der Definitionsbereich aus dem Zusammenhang ersichtlich, so kann man ~ anstelle von ~D schreiben. Meist wird der Definitionsbereich einer Ungleichung maximal, also gleich dem Schnitt der Definitionsbereiche der beteiligten Terme, gewählt.

Sind T1 und T2 Terme, und bezeichnet ~ die Äquivalenz von Ungleichungen, so gilt: \begin{eqnarray}({T}_{1}\lt{T}_{2})\sim({T}_{2}\gt{T}_{1})\end{eqnarray} Ist T ein weiterer Term, dessen Definitionsbereich den der Ungleichung T1 < T2 enthält, so hat man: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}+T\lt {T}_{2}+T)\\ ({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}-T\lt {T}_{2}-T)\end{array}\end{eqnarray} Ist außerdem T auf dem Definitionsbereich der Ungleichung T1 < T2 stets (d. h. beim Einsetzen jedes Elements des Definitionsbereichs der Ungleichung) positiv, so gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}.T\lt {T}_{2}.T)\\ ({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}/T\lt {T}_{2}/T)\end{array}\end{eqnarray} Ist hingegen T auf dem Definitionsbereich der Ungleichung T1 < T2 stets negativ, so gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}\lt{T}_{2})\sim({T}_{1}.T\gt{T}_{2}.T)\\ ({T}_{1}\lt{T}_{2})\sim({T}_{1}/T\gt{T}_{2}/T)\end{array}\end{eqnarray} Hieraus erhält man, wenn T1 und T2 auf dem Definitionsbereich der Ungleichung T1 < T2 stets positiv sind: \begin{eqnarray}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim(1/{T}_{2}\lt 1/{T}_{1})\end{eqnarray} Allgemein gilt für jede auf den Wertebereichen von T1 und T2 definierte streng isotone reellwertige Funktion f: \begin{eqnarray}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim(f({T}_{1})\lt f({T}_{2}))\end{eqnarray} Sind noch Terme S1, S2 gegeben, so hat man: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}_{1}\sim{S}_{1}\\ {T}_{2}\sim{S}_{2}\end{array}\}\Rightarrow ({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({S}_{1}\lt {S}_{2})\end{eqnarray} Oft muß man den Definitionsbereich verkleinern, um eine Ungleichung U weiter vereinfachen zu können (etwa, um durch einen Term teilen zu können). Hierfür gilt \begin{eqnarray}{{\mathbb{L}}}_{D}(U)={{\mathbb{L}}}_{D\backslash L}(U)\cup L\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,\,\, L\subset {{\mathbb{L}}}_{\text{D}}(\text{U}).\end{eqnarray} Hat man eine Darstellung \(D=\mathop{\cup }\limits_{\delta \in {\mathbb{D}}}\delta \), so gilt \begin{eqnarray}{{\mathbb{L}}}_{D}(U)=\mathop{\cup }\limits_{\delta \in {\mathbb{D}}}{{\mathbb{L}}}_{\delta }(U).\end{eqnarray} Ähnliche Zusammenhänge hat man auch für Ungleichungen mit ≤ anstelle von < . So gilt etwa für jede auf den Wertebereichen von T1 und T2 definierte streng isotone reellwertige Funktion f: \begin{eqnarray}({T}_{1}\le {T}_{2})\sim(f({T}_{1})\le f({T}_{2}))\end{eqnarray} Für nur isotone Funktionen f ist der Übergang von T1T2 zu f(T1) ≤f(T2) i. allg. eine nichtäquivalente Umformung, bei der die Lösungsmenge möglicherweise vergrößert wird. Dann muß man für die hinzugekommenen Lösungselemente ‚eine Probe machen‘, d. h. prüfen, ob sie die Ausgangsungleichung wirklich lösen.

Ungleichungen mit < und mit ≤ hängen wie folgt zusammen: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\le {T}_{2})={{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\lt {T}_{2})\mathop{\cup }\limits^{}{{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}={T}_{2})\\ {{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\lt {T}_{2})={{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\le {T}_{2})\backslash {{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}={T}_{2})\end{array}\end{eqnarray} Für den Übergang von der einen zur anderen Ungleichunsart wird man daher auch die Regeln für das Rechnen mit Gleichungen heranziehen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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