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Lexikon der Mathematik: rechtsseitiger Limes inferior

zu einer auf einer Menge D ⊂ ℝ definierten Funktion \(\phi :D\to {\mathbb{R}}\) an einer Stelle aD, die Häufungspunkt von \(D\mathop{\cap }\limits^{}[a,\infty )\) sei, durch \begin{eqnarray}\liminf \limits_{x\downarrow a}\,\phi (x)=\lim\limits_{x\downarrow a}\,\inf\limits_{t\in (a,x)}\phi (t)\,\in\, [-\infty,\infty ]\end{eqnarray} definierte Größe. Ebenso ist der rechtsseitige Limes superior definiert durch \begin{eqnarray}\limsup\limits_{x\downarrow x} \,\phi (x)=\lim\limits_{x\downarrow a}\,\sup\limits_{t\in (a,x)}\phi (t)\,\in\, [-\infty,\infty ].\end{eqnarray} Es gilt \begin{eqnarray}\liminf\limits_{x\downarrow a}\,\phi (x)\le \limsup\limits_{x\downarrow a}\,\phi (x)\end{eqnarray} mit Gleichheit genau dann, wenn der rechtsseitige Grenzwert φ(a+) in [−∞, ∞] existiert, der dann gleich dem rechtsseitigen Limes inferior und superior ist. Mit Hilfe des rechtsseitigen Limes inferior wird die Dini-Ableitung D+f einer Funktion f definiert, und mit dem rechtseitigen Limes superior ihre Dini-Ableitung D+f.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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