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Lexikon der Mathematik: Reduktion eines Raumes

fundamentaler Begriff in der Funktionentheorie auf analytischen Mengen.

Die Strukturgarbe \({\mathcal{A}}\) eines geringten Raumes T ist vergleichbar mit der Garbe von Funktionen Red \({\mathcal{A}}\subset {T}^{{\mathcal{C}}},\) erzeugt durch die Untergarbe \(U\mapsto \mathrm{Red}\, {\mathcal{A}}(U)\).

Mit anderen Worten, Red: \({\mathcal{A}}\to {T}^{{\mathcal{C}}}\) ist im allgemeinen nicht injektiv, weshalb es nicht möglich ist, die Schnitte von \({\mathcal{A}}\) mit Hilfe ihrer Funktionalwerte zu charakterisieren. Da Red \({\mathcal{A}}\) eine Unteralgebra von \({T}^{{\mathcal{C}}}\) ist, ist es leicht zu zeigen, daß Red \(T:=(|T|,\text{Red}\,{\mathcal{A}})\) ein geringter Raum ist, er wird als Reduktion von T bezeichnet. |T| ist dabei der T zugrundeliegende topologische Raum.

Wenn Red: \({\mathcal{A}}\to {T}^{{\mathcal{C}}}\) injektiv ist, dann heißt der Raum \((T,{\mathcal{A}})\) reduzierter geringter Raum, in diesem Fall identifiziert man häufig Red \({\mathcal{A}}\) mit \({\mathcal{A}}\).

Unter einem reduzierten lokalen Modell versteht man einen geringten Raum, der isomorph zu einem Raum \((A,{(}_{U}{\mathcal{O}}{/}_{A} {\mathcal I} ){|}_{A})\) ist, wobei \(A\subset U\subset {{\mathbb{C}}}^{n},U\) offen, eine analytische Menge sei, und \({}_{A} {\mathcal I} {\subset }_{U}{\mathcal{O}}\) ihr Nullstellenideal, d. h. die Garbe aller holomorphen Funktionen, die auf \({\mathcal{A}}\) verschwinden, ist.

Ein geringter Raum \((X,{}_{X}{\mathcal{O}})\) heißt reduzierter komplexer Raum, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • X ist ein Hausdorff-Raum,
  • \((X,{}_{X}{\mathcal{O}})\) besitzt eine offene Überdeckung, die aus reduzierten lokalen Modellen besteht.
  • Die Schnitte der Strukturgarbe \({}_{X}{\mathcal{O}}\) heißen holomorphe Funktionen. Eine stetige Abbildung φ : XY von reduzierten komplexen Räumen heißt holomorph, wenn für jede offene Teilmenge WY gilt: \begin{eqnarray}f\,{\in\,}_{Y}{\mathcal{O}}\,(W)\Rightarrow f\circ {\varphi}\,{\in \,}_{X}{\mathcal{O}}\,\left({\varphi }^{-1}(W)\right).\end{eqnarray} Beispielsweise sind komplexe Mannigfaltigkeiten reduzierte komplexe Räume.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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