eine lineare algebraische Gruppe G, die keinen Zariski-abgeschlossenen Normalteiler aus unipotenten Elementen besitzt.

G heißt linear reduktiv, wenn jede rationale Darstellung von G in eine direkte Summe irreduzibler rationaler Darstellungen zerfällt.

G heißt geometrisch reduktiv, wenn für jede rationale Darstellung V von G und jeden G-invarianten Vektor ν ≠ 0 eine natürliche Zahl m ≥ 1 und eine G-invariante symmetrische m-Form f existieren, so daß \begin{eqnarray}f({\upsilon }^{m})\ne 0.\end{eqnarray} Für zusammenhängende G sind die Eigenschaften „reduktiv“ und „geometrisch reduktiv“ zueinander äquivalent. Der schwierige Teil „reduktiv ⇒ geometrisch reduktiv“ ist ein Satz von Haboush.

Im Falle der Charakteristik 0 sind diese Eigenschaften äquivalent zur Eigenschaft „linear reduktiv”.

Beispiele reduktiver Gruppen sind GL(n), SL(n), SO(n) und Produkte solcher Gruppen. Für eine abgeschlossene Untergruppe H ⊂ G einer reduktiven Gruppe sind folgende Eigenschaften äquivalent: