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Lexikon der Mathematik: reduktive lineare Gruppe

eine lineare algebraische Gruppe G, die keinen Zariski-abgeschlossenen Normalteiler aus unipotenten Elementen besitzt.

G heißt linear reduktiv, wenn jede rationale Darstellung von G in eine direkte Summe irreduzibler rationaler Darstellungen zerfällt.

G heißt geometrisch reduktiv, wenn für jede rationale Darstellung V von G und jeden G-invarianten Vektor ν ≠ 0 eine natürliche Zahl m ≥ 1 und eine G-invariante symmetrische m-Form f existieren, so daß \begin{eqnarray}f({\upsilon }^{m})\ne 0.\end{eqnarray} Für zusammenhängende G sind die Eigenschaften „reduktiv“ und „geometrisch reduktiv“ zueinander äquivalent. Der schwierige Teil „reduktiv ⇒ geometrisch reduktiv“ ist ein Satz von Haboush.

Im Falle der Charakteristik 0 sind diese Eigenschaften äquivalent zur Eigenschaft „linear reduktiv”.

Beispiele reduktiver Gruppen sind GL(n), SL(n), SO(n) und Produkte solcher Gruppen. Für eine abgeschlossene Untergruppe HG einer reduktiven Gruppe sind folgende Eigenschaften äquivalent:

  • H ist reduktiv.
  • G/H ist eine affine Varietät.
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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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