Vereinfachung von homogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die für das Auffinden einer Lösung nützlich sein kann.

Sei J ⊂ ℝ ein Intervall, und seien f, g, h ∈ C(J) mit f(x) ≠ 0 für alle x ∈ J. Für \begin{eqnarray}u(x)=y\exp \,\left(\frac{1}{2}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{0}\frac{g(t)}{f(t)}dt\right)\end{eqnarray} entsteht dann aus \begin{eqnarray}f(x){y}^{\prime\prime}+g(x){y}^{\prime}+h(x)y=0\end{eqnarray} unter der Voraussetzung, daß \(\frac{g}{f}\) differenzierbar ist, die vereinfachte reduzierte Form \begin{eqnarray}{u}^{\prime\prime}+I(x)u=0\,\,\text{mit}\,\, I=\frac{h}{f}-\frac{1}{4}{\left(\frac{g}{f}\right)}^{2}-{\left(\frac{g}{f}\right)}^{\prime}.\end{eqnarray} Die Funktion I(x) heißt Invariante der Differentialgleichung.

Falls zwei Differentialgleichungen (1) und \begin{eqnarray}\mathop{f}\limits^{}(x){u}^{\prime\prime}+\mathop{g}\limits^{}(x){u}^{\prime}+\mathop{h}\limits^{}(x)u=0\end{eqnarray} dieselbe Invariante haben, so sind ihre Lösungen y(x) und u(x) mit einer geeigneten Funktion p ∈ C²(J) über die Gleichung y = p(x)u verknüpft. Für zwei Fundamentalsysteme y₁, y₂ und u₁, u₂ der Gleichungen (1) und (2) erfüllt die Funktion \begin{eqnarray}s(x):=\frac{{y}_{1}(x)}{{y}_{2}(x)}=\frac{{u}_{1}(x)}{{u}_{2}(x)}\end{eqnarray} die Differentialgleichung \begin{eqnarray}\{s,x\}:=\frac{{s}^{\prime\prime\prime}}{{s}^{\prime}}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{s}\prime\prime}{{s}^{\prime}}\right)}^{2}=2I(x).\end{eqnarray} Dabei ist {s, x} die sog. Schwarzsche Differentialinvariante von (1). Ist s mit s′(x) > 0 für alle x ∈ J eine Lösung von (3), so sind mit jeweils geeigneten Konstanten c₁, c₂ die Funktionen \begin{eqnarray}{({s}^{\prime})}^{-\frac{1}{2}}({c}_{1}+{c}_{2}s)\end{eqnarray} Lösungen von \({y}^{\prime\prime}+I(x)y=0.\)