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Lexikon der Mathematik: reelle algebraische Varietäten

algebraische Schemata X0 über ℝ, so daß \begin{eqnarray}X={X}_{0}\,{\otimes }_{{\mathbb{R}}}\,{\mathbb{C}}\end{eqnarray} eine algebraische Varietät ist.

Äquivalent dazu ist ein Paar (X, F), bestehend aus einer algebraischen Varietät X und einem Schemamorphismus F : XX so, daß das Diagramm

Abbildung 1 zum Lexikonartikel reelle algebraische Varietäten
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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(F der durch die komplexe Konjugation induzierte Morphismus) kommutativ ist mit F2 = Id, und so, daß für jeden Punkt zX(ℂ) eine affine Umgebung U mit z, F(z) ∈ U existiert.

Ist \begin{eqnarray}X={X}_{0}\,{\otimes }_{{\mathbb{R}}}\,{\mathbb{C}}\,\,\,\text{und}\,\,\, z\in X({\mathbb{C}})={X}_{0}{({\mathbb{C}})}_{{\mathbb{R}}},\end{eqnarray} so ist \begin{eqnarray}F(z)=\bar{z}\,\,\, \text{und}\,\,\, {F}^{* }(f)(z)=\overline{f(\bar{z})}\end{eqnarray} ( bedeutet hier komplexe Konjugation). Die Menge X0(ℝ) der reellen Punkte ist die Fixpunktmenge von F (diese Menge kann leer sein). Solche Mengen heißen reelle algebraische Mengen.

Wenn X irreduzibel ist und X0(ℝ) einen Punkt enthält, in dem X glatt ist, so ist X0(ℝ) Zariskidieht in X(ℂ). X0(ℝ) ist aber keineswegs dicht in dem zugrunde liegenden analytischen Raum Xan, sondern eine reell-analytische Untermannigfaltigkeit (wenn X glatt ist) der Dimension n = dim X, während die reelle Dimension von xan gleich 2n ist.

Außerdem muß X0(ℝ) ⊂ xan nicht zusammenhängend sein, obwohl xan zusammenhängend ist. Im Falle glatter projektiver algebraischer Kurven, die über ℝ definiert sind, ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von X0(ℝ) durch g + 1 (g das Geschlecht der Kurve) beschränkt, und jede Komponente ist diffeomorph zu S1 (Theorem von Harnack).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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