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Lexikon der Mathematik: reelle Interpolationsmethode

auch Methode von Lions-Peetre oder K-Methode genannt, eine Methode zur Interpolation linearer Operatoren.

Es sei (X0, X1) ein verträgliches Paar von Banachräumen (Interpolationstheorie auf Banachräumen). Auf X0 +X1 betrachte man zu t > 0 die äquivalente Norm \begin{eqnarray}K(t,x)=\inf \{\Vert{x}_{0}\Vert_{0}+t\Vert{x}_{1}\Vert_{1}:x={x}_{0}+{x}_{1},{x}_{j}\in {X}_{j}\};\end{eqnarray} dieser Ausdruck wird das K-Funktional genannt. Ist 0 < ϑ < 1 und 1 ≤ q < ∞, setzt man \begin{eqnarray}\Vert x\Vert_{\vartheta,q}={\left(\mathop{\mathop{\int }\limits^{\infty }}\limits_{0}{({t}^{-\vartheta }K(t,x))}^{q}\frac{dt}{t}\right)}^{1/q}\end{eqnarray} sowie \(\Vert x\Vert_{\vartheta,\infty }=\mathop{\sup }_{t\gt 0}{t}^{-\vartheta }K(t,x)\).

Dieses sind Normen auf \begin{eqnarray}{X}_{\vartheta,q}:={({X}_{0},{X}_{1})}_{\vartheta,q}:=\{x\in {X}_{0}+{X}_{1}:\Vert x\Vert_{\vartheta,q}\lt \infty \},\end{eqnarray} und diese Räume sind dann vollständig.

Es sei nun (Y0, Y1) ein weiteres verträgliches Paar von Banachräumen, und T : X0 +X1Y0 + Y1 eine lineare Abbildung, die X0 stetig in Y0 und X1 stetig in Y1 überführt; es gilt also \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\Vert T:{X}_{0}\to {Y}_{0}\Vert=:{M}_{0}\lt \infty,\\ \Vert T:{X}_{1}\to {Y}_{1}\Vert=:{M}_{1}\lt \infty.\end{array}\end{eqnarray} Dann güt auch \(T({X}_{\vartheta,q})\subset {Y}_{\vartheta,q}\) für alle 0 < ϑ < 1, 1 ≤ q ≤ ∞ sowie \begin{eqnarray}\Vert T:{X}_{\vartheta,q}\to {Y}_{\vartheta,q}\Vert\le {M}_{0}^{1-\vartheta }{M}_{1}^{\vartheta }\end{eqnarray} Es ist also \(({X}_{\vartheta,q},{Y}_{\vartheta,q})\) ein exaktes Interpolationspaar im Sinn der Interpolationstheorie.

Ist \({X}_{0}={L}^{{p}_{0}}\) und \({X}_{1}={L}^{{p}_{1}}\) so erhält man bis auf Äquivalenz der Normen \({({L}^{{p}_{0}},{L}^{{p}_{1}})}_{\vartheta,q}={L}^{p,q}\)(Lorentz-Räume), wobei \begin{eqnarray}1/p=(1-\vartheta )/{p}_{0}+\vartheta /{p}_{1}\end{eqnarray} ist. Insbesondere ist \({({L}^{{p}_{0}},{L}^{{p}_{1}})}_{\vartheta,q}={L}^{p}\). Reelle Interpolation der Sobolew-Räume liefert Besow-Räume: \({({W}^{{m}_{0},p},{W}^{{m}_{1},p})}_{\vartheta,q}={B}_{p,q}^{s}\) fürmo m0m1 und s = (1 − ϑ)m0 + ϑm1.

Eine wichtige Eigenschaft der reellen Interpolationsmethode ist die Reiterationseigenschaft \begin{eqnarray}{({X}_{{\vartheta }_{0}}{,}_{{q}_{0}},{X}_{{\vartheta }_{1}}{,}_{q1})}_{\vartheta,q}={X}_{{\vartheta }^{\prime},q}\end{eqnarray} für ϑ′ = (1-ϑ)ϑ0+ϑϑ1. Die reelle Interpolationsmethode kann auf Quasi-Banachräume ausgedehnt werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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