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Lexikon der Mathematik: reeller projektiver Raum

ein projektiver Raum ℙ(E), wobei E ein (n+1)-dimensionaler reeller Vektorraum ist.

Als algebraisches Schema ist dies die Menge der reellen Punkte von ℙ(E⊗ℂ) bzgl. der reellen Struktur auf ℙ(E⊗ℂ), die durch die komplexe Konjugation induziert wird.

Für gerade n ist ℙ(E) ⊂ ℙ(E⊗ℂ)an eine reellanalytische zusammenhängende Untermannigfaltigkeit der Dimension n, die nicht orientierbar ist. Für ungerade n besitzt ℙ(E⊗ℂ) eine weitere reelle Struktur: Man wähle eine ℝ-lineare Abbildung J : EE mit J2 = −Id. Die durch E⊗ℂ → E⊗ℂ, \(z\mapsto J(\bar{z})\) induzierte Involution F auf ℙ(E⊗ℂ) definiert dann eine reelle Struktur, für die keine reellen Punkte (reelle algebraische Varietäten) existieren.

Bis auf Konjugation mit Automorphismen von ℙ(E⊗ℂ) sind dies die einzigen reellen Strukturen auf ℙ(E⊗ℂ).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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