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Lexikon der Mathematik: reflexiver Raum

ein Banachraum, für den die kanonische Einbettung in den Bidualraum (kanonische Einbettung eines Banachraumes in seinen Bidualraum) surjektiv ist.

Beispiele reflexiver Räume sind die Räume p und Lp(μ) für 1 < p < ∞, aber auch der Raum der kompakten Operatoren K(p, q) für 1 < q < p ∞.

Abgeschlossene Unterräume und Quotientenräume reflexiver Räume sind reflexiv. Ein Banach-Verband ist genau dann reflexiv, wenn er keine zu c0 oder 1 isomorphen Teilräume besitzt. Für allgemeine Banachräume braucht diese Äquivalenz nicht zuzutreffen, ein Gegenbeispiel ist der quasireflexive Raum von James.

Die Bedeutung reflexiver Räume resultiert im wesentlichen aus den hier zur Verfügung stehenden Kompaktheitssätzen. Der Raum X ist genau dann reflexiv, wenn seine Einheitskugel in der schwachen Topologie kompakt ist. Das ist nach dem Satz von Eberlein-Smulian genau dann der Fall, wenn jede beschränkte Folge in X eine schwach konvergente Teilfolge besitzt.

Ist X ein lokalkonvexer Raum mit starkem Bidualrauml \({X}^{\prime\prime}_{b}\) (stark-dualer Raum), so heißt X halbreflexiv, wenn \({i}_{X}:X\to {X}^{\prime\prime}_{b},({i}_{X}(x))({x}^{\prime})={x}^{\prime}(x),\) surjektiv ist, und X heißt reflexiv, wenn iX ein Isomorphismus lokalkonvexer Räume zwischen X und \({X}^{\prime\prime}_{b}\) ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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