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Lexikon der Mathematik: Regelfläche

auch geradlinige Fläche genannt, reguläre Fläche, die von einer sich im Raum bewegenden Geraden überstrichen wird.

Für differentielle Untersuchungen von Regelflächen wird meist ein geradliniges Koordinatennetz, d. h., eine Parametergleichung der Form \begin{eqnarray}\Phi (u, v)=\alpha (u)+v \gamma (u)\end{eqnarray} herangezogen. Dabei heißt α(t) Basiskurve und γ(t) Richtungskurve der Regelfläche. Man verlangt α′(t) ≠ 0 und γ(t) ≠ 0. Die v-Parameterlinien \begin{eqnarray}v \to \alpha ({u}_{0})+v \gamma ({u}_{0})\end{eqnarray} heißen Erzeugende oder Strahlen der Regelfläche. Sie sind Geraden und als solche gleichzeitig Asymptotenlinien und geodätische Linien der Fläche.

Auf jeder Erzeugenden gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt, den Kehlpunkt, der zu den infinitesimal benachbarten Strahlen Ideinsten Abstand hat Die einparametrige Schar aller Kehlpunkte bildet eine Kurve auf der Fläche, die Striktionslinie oder Kehllinie.

Ähnlich wie sich Kurven durch die Bogenlänge parametrisieren lassen, läßt sich auf Regelflächen eine natürliche Parametrisierung durch Übergang von einem beliebigen geradlinigen Koordinatennetz \(\Phi (u, v)\) zu \begin{eqnarray}\Phi * (u, v)=\alpha * (u)+v \gamma * (u)\end{eqnarray} einführen. Darin ist α*(u) die Kehllinie, parametrisiert durch ihre Bogenlänge u, und \begin{eqnarray}\gamma * (u)=\frac{\gamma (u)}{\parallel \gamma (u)\parallel }.\end{eqnarray} Eine Regelfläche heißt doppelt bestimmt, wenn es auf ihr zwei geradlinige Koordinatennetze gibt. Die einzigen doppelt bestimmten Regelflächen sind das einschalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid.

Die Striktionslinie einer Tangentenlläche heißt Gratlinie oder Rückkehrkante.

Siehe auch Klassifikation von Flächen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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