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Lexikon der Mathematik: Regelfunktion

auf einem kompakten Intervall definierte reellwertige Funktion, die sieh gleichmäßig (d. h. bezüglich der Supremumsnorm) durch Treppenfunktionen approximieren läßt.

Bezeichnet für −∞ < a < b < ∞ und eine auf [a, b] definierte reellwertige Funktion h \begin{eqnarray}\Vert h\Vert:=\sup \{|h(x)|:x\in [a,b]\}\end{eqnarray} die Supremumsnorm von h und \({\mathfrak{E}}\) den Raum der reellwertigen Treppenfunktionen auf [a, b], so ist f also genau dann Regelfunktion, wenn eine Folge (hn) aus \({\mathfrak{E}}\) mit \begin{eqnarray}\parallel {h}_{n}-f||\to 0\,\,\,\,\,(n\to \infty )\end{eqnarray} existiert. Da Treppenfunktionen beschränkt sind, ist auch jede Regelfunktion beschränkt. Der Bereich der Regelfunktionen (zu festem Intervall [a, b]) bildet einen Vektorraum, der trivialerweise alle Treppenfunktionen enthält. Auch das Produkt zweier Regelfunktionen ist eine Regelfunktion. Jede reellwertige stetige Funktion auf [a, b] ist eine Regelfunktion.

Die Regelfunktionen auf [a, b] lassen sich wie folgt extern charakterisieren:

Eine auf [a, b] definierte reellwertige Funktion f ist genau dann Regelfunktion, wenn sie beschränkt ist und die einseitigen Grenzwerte f(x-) und f(x+) für jedes x ∈ [a, b] – soweit sinnvoll – existieren.

Damit sind u. a. auch alle monotonen reellwertigen Funktionen auf [a, b] Regelfunktionen.

In gleicher Weise kann man komplex- oder gar Banachraum-wertige Regelfunktionen betrachten.

Auch eine Ausdehnung auf Funktionen, die auf ganz ℝ definiert sind, ist möglich. Dabei gilt dann:

Eine Funktion ist genau dann ‚Regelfunktion auf ℝ‘, wenn an jeder Stelle der rechts- und der linksseitige Grenzwert existieren und überdies die Funktion im Unendlichen verschwindet, d. h. für x → ∞ und x → −∞ gegen 0 strebt.

(Siehe auch Regelfunktionen, Integral von)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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