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Lexikon der Mathematik: regelmäßiges Vieleck

auch gleichseitiges n-Eck genannt, konvexes n-Eck, dessen sämtliche Seiten a1an die gleiche Länge a haben.

In einem regelmäßigen n-Eck sind alle Innenwinkel zueinander kongruent und haben jeweils das Maß \(\alpha =\frac{n-2}{n}\cdot {180}^{\unicode{x00b0}}\). Zu jedem regelmäßigen Vieleck existiert ein Umkreis, auf dem alle n Eckpunkte des Vielecks liegen, und zu dem die n Seiten Sehnen sind.

Durch Verbinden der Eckpunkte eines n-Ecks mit dem Mittelpunkt M seines Umkreises wird das n-Eck in n kongruente gleichschenklige Dreiecke, seine Bestimmungsdreiecke, unterteilt. Indem diese Dreiecke in zwei kongruente Teildreiecke zerlegt werden (eine Konstruktion, die mit Zirkel und Lineal problemlos möglich ist), können aus jedem konstruierbaren n-Eck das zugehörige 2n-Eck und weitergehend alle n · 2k-Ecíe (mit k ∈ ℕ) konstruiert werden (siehe Abbildung). Da sowohl gleichseitige Dreiecke als auch Quadrate mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, ist somit die Konstruktion beliebiger (4 · 2k)- und (3 · 2k)-Ecke möglich. Weiterhin gibt es Konstruktionen u. a. für 5-, 10-, 15- und 24-Ecke.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel regelmäßiges Vieleck
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Ein allgemeine Aussage darüber, für welche Eckenzahl n Vielecke mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, trifft der Satz von Gauß (Gauß, Satz von, über n-Ecke).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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