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Lexikon der Mathematik: reguläre Folge

algebraischer Begriff.

Sei A ein kommutativer Ring, M ein Noetherscher A-Modul, und sei (f1, …, fn) eine Folge von Elementen aus A, die in jedem Maximalideal von A enthalten ist. Die Folge heißt M-regulär, wenn für alle i = 1,…,n die Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{M}_{i-1}\to {M}_{i-1}, & x\mapsto {f}_{i}x\end{array}\end{eqnarray} (mit M0 = M und \begin{eqnarray}{M}_{i-1}=M/{f}_{1}M+\cdots +{f}_{i-1}M\end{eqnarray} für i > 1) injektiv ist.

Diese Eigenschaft hängt aufgrund der folgenden Charakterisierung nicht von der Reihenfolge der Elemente ab: Eine Folge (f1, …, fn) = s interpretieren wir als Element des freien A-Moduls E = An. Ein solches Element definiert einen Kokettenkomplex \begin{eqnarray}{K}^{0}\mathop{\to }\limits^{d}{K}^{1}\mathop{\to }\limits^{d}{K}^{2}\mathop{\to }\limits^{d}\cdots \mathop{\to }\limits^{d}{K}^{n}\end{eqnarray} mit \({K}^{p}={\wedge }^{p}E\), \(d:{K}^{p}\to {K}^{p+1}\), \(dv =s\wedge v \), und einen Kettenkomplex \begin{eqnarray}\begin{array}{l}K_\bullet (S,M)=({K}_{n}(s,M)\mathop{\to }\limits^{\partial }{K}_{n-1}(s,M)\to \cdots \to {K}_{0}(s,M))\end{array}\end{eqnarray} mit Kp(s, M) = Hom(KP, M) (der sog. Koszulkomplex), ∂α = αd.

Dann sind äquivalent:

  1. Hp(K(S, M)) = 0 für alle p ≥ 1.
  2. (f1, …, fn) ist eine reguläre Folge in der Lokalisierung Mm für jedes Maximalideal 𝔪 mit f1, …, fn ∈ 𝔪.

In diesem Sinne läßt sich der Begriff reguläre Folge auch für Schnitte s von Vektorbündeln ϵ auf einem Schema X verallgemeinern: Wenn \( {\mathcal M} \) eine kohärente Garbe auf X ist, so heißt s \( {\mathcal M} \)-regulärer Schnitt, wenn \({ {\mathcal H} }_{p}({{\mathcal{K}}}_{0}(s, {\mathcal M} ))=0\) für alle p ≥ 1 \((\text{mit}\ \text{}\text{}\ \text{}\text{}\ ({{\mathcal{K}}}_{\bullet }(s, {\mathcal M} )=\text{Hom}(({{\mathcal{K}}}^{\bullet },M),\) wobei \begin{eqnarray}{{\mathcal{K}}}^{\bullet }=({{\mathcal{O}}}_{X}\mathop{\to }\limits^{s}\varepsilon \mathop{\to }\limits^{s\wedge }{\wedge }^{2}\varepsilon \mathop{\to }\limits^{s\wedge }\cdots ).\end{eqnarray} WennM = A (oder \( {\mathcal M} ={{\mathcal{O}}}_{X}\)) ist, nennt man die Folge einfach reguläre Folge (oder regulärer Schnitt).

Etwas verkürzt, aber eingängig, kann man eine reguläre Folge auch definieren als eine Folge von Nichteinheiten f1, …, fk in einem kommutativen Ring R so, daß die Klasse von fi in R/(f1, …, fi−1) ein Nichtnullteiler ist.

Im Polynomring K[x1, …, xn] über dem Körper K ist beispielsweise x1, …, xn eine reguläre Folge.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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