algebraischer Begriff.

Sei A ein kommutativer Ring, M ein Noetherscher A-Modul, und sei (f₁, …, f_n) eine Folge von Elementen aus A, die in jedem Maximalideal von A enthalten ist. Die Folge heißt M-regulär, wenn für alle i = 1,…,n die Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{M}_{i-1}\to {M}_{i-1}, & x\mapsto {f}_{i}x\end{array}\end{eqnarray} (mit M₀ = M und \begin{eqnarray}{M}_{i-1}=M/{f}_{1}M+\cdots +{f}_{i-1}M\end{eqnarray} für i > 1) injektiv ist.

Diese Eigenschaft hängt aufgrund der folgenden Charakterisierung nicht von der Reihenfolge der Elemente ab: Eine Folge (f₁, …, f_n) = s interpretieren wir als Element des freien A-Moduls E = Aⁿ. Ein solches Element definiert einen Kokettenkomplex \begin{eqnarray}{K}^{0}\mathop{\to }\limits^{d}{K}^{1}\mathop{\to }\limits^{d}{K}^{2}\mathop{\to }\limits^{d}\cdots \mathop{\to }\limits^{d}{K}^{n}\end{eqnarray} mit \({K}^{p}={\wedge }^{p}E\), \(d:{K}^{p}\to {K}^{p+1}\), \(dv =s\wedge v \), und einen Kettenkomplex \begin{eqnarray}\begin{array}{l}K_\bullet (S,M)=({K}_{n}(s,M)\mathop{\to }\limits^{\partial }{K}_{n-1}(s,M)\to \cdots \to {K}_{0}(s,M))\end{array}\end{eqnarray} mit K_p(s, M) = Hom(K^P, M) (der sog. Koszulkomplex), ∂α = α ∘ d.

Dann sind äquivalent:

1. H_p(K_•(S, M)) = 0 für alle p ≥ 1.
2. (f₁, …, f_n) ist eine reguläre Folge in der Lokalisierung M_m für jedes Maximalideal 𝔪 mit f₁, …, f_n ∈ 𝔪.

In diesem Sinne läßt sich der Begriff reguläre Folge auch für Schnitte s von Vektorbündeln ϵ auf einem Schema X verallgemeinern: Wenn \( {\mathcal M} \) eine kohärente Garbe auf X ist, so heißt s \( {\mathcal M} \)-regulärer Schnitt, wenn \({ {\mathcal H} }_{p}({{\mathcal{K}}}_{0}(s, {\mathcal M} ))=0\) für alle p ≥ 1 \((\text{mit}\ \text{}\text{}\ \text{}\text{}\ ({{\mathcal{K}}}_{\bullet }(s, {\mathcal M} )=\text{Hom}(({{\mathcal{K}}}^{\bullet },M),\) wobei \begin{eqnarray}{{\mathcal{K}}}^{\bullet }=({{\mathcal{O}}}_{X}\mathop{\to }\limits^{s}\varepsilon \mathop{\to }\limits^{s\wedge }{\wedge }^{2}\varepsilon \mathop{\to }\limits^{s\wedge }\cdots ).\end{eqnarray} WennM = A (oder \( {\mathcal M} ={{\mathcal{O}}}_{X}\)) ist, nennt man die Folge einfach reguläre Folge (oder regulärer Schnitt).

Etwas verkürzt, aber eingängig, kann man eine reguläre Folge auch definieren als eine Folge von Nichteinheiten f₁, …, f_k in einem kommutativen Ring R so, daß die Klasse von f_i in R/(f₁, …, f_i−1) ein Nichtnullteiler ist.

Im Polynomring K[x₁, …, x_n] über dem Körper K ist beispielsweise x₁, …, x_n eine reguläre Folge.