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Lexikon der Mathematik: reguläre Matrix

nichtsinguläre Matrix, (n × n)- Matrix A über dem Körper \({\mathbb{K}}\) mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\det A\ne 0\end{eqnarray} (Determinante einer Matrix).

Ist A regulär, so gibt es eine eindeutig bestimmte (n × n)-Matrix A−1 über \({\mathbb{K}}\), die Inverse von A, mit \begin{eqnarray}A{A}^{-1}={A}^{-1}A=I,\end{eqnarray} wobei I die (n × n)-Einheitsmatrix bezeichnet.

Mit A und B ist auch AB regulär. Die (für n ≥ 2 nicht abelsche) Gruppe der regulären (n × n)-Matrizen über \({\mathbb{K}}\) bezüglich Matrizenmultiplikation wird mit \(G{L}_{n}({\mathbb{K}})\) (engl.: general linear group) bezeichnet, sie ist isomorph zur Gruppe \(GL({{\mathbb{K}}}^{n})\) aller Isomorphismen des \({{\mathbb{K}}}^{n}\) bezüglich Hintereinander- ausführung.

Die Inverse eines Produktes AB zweier regulärer Matrizen ist gegeben durch B−1A−1.

Eine Matrix ist genau dann regulär, wenn sie nur von 0 verschiedene Eigenwerte hat.

Jede reguläre Matrix läßt sich als Produkt von Elementarmatrizen darstellen und durch eine Folge von elementaren Umformungen in eine Einheitsmatrix überführen.

Bezüglich fest gewählter Basen in zwei n-dimensionalen Vektorräumen über \({\mathbb{K}}\) werden durch die regulären (n × n)-Matrizen gerade die Isomorphismen beschrieben.

Für eine reguläre Matrix A gilt \begin{eqnarray}{({A}^{-1})}^{t}={({A}^{t})}^{-1}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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