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Lexikon der Mathematik: regulärer Ring

ein Ring R so, daß fiir jedes Primideal ℘ ⊂ R die Lokalisierung R ein regulärer lokaler Ring ist.

Es sei R ein Noetherscher lokaler Ring mit Maximalideal \({\mathfrak{m}}\). R ist ein regulärer lokaler Ring, wenn \({\dim }_{R/{\mathfrak{m}}}({\mathfrak{m}}/{{\mathfrak{m}}}^{2})=\dim (R)\) ist, d.h., wenn die Dimension des Rings R gleich der \(R/{\mathfrak{m}}\)-Vektorraum-Dimension von \({\mathfrak{m}}/{{\mathfrak{m}}}^{2}\) (dualer Raum zum Tangentialraum) ist.

Der Polynomenring K[x1, …, xn] über einen Körper K, der Potenzreihenring K[[x1, …, xn]], und der konvergente Potenzreihenring ℂ{x1, …, xn] über dem Körper der komplexen Zahlen ℂ sind Beispiele für reguläre Ringe.

Die Lokalisierung eines regulären Rings in einem Primideal ist regulär. Mit Hilfe des Jacobischen Kriteriums für Glattheit kann man entscheiden, wann der Faktorring eines Polynomenrings oder Potenzreihenrings ein regulärer Ring ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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